第十六章 偏微分方程的数值解法 科学研究和工程技术中的许多问题可建立偏微分方程的数学模型。包含多个自变量的微分方程称为偏微分方程(partial differential equ ation)，简称 PDE。偏微分方程问题，其求解是十分困难的。除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 1 6 .1 几类偏微分方程的定解问题 一个偏微分方程的表示通常如下： ( , ,,,)xxxyyyxyABCf x y (16.1.1) 式中，, ,A B C 是常数，称为拟线性(qu asilinear)数。通常，存在 3 种拟线性方程： 双曲型(hy perbolic)方程：240BAC； 抛物线型(parabolic)方程：240BAC； 椭圆型(ellliptic) 方程：240BAC。 1 6 .1 .2 双曲型方程 最简单形式为一阶双曲型方程： 0uuatx (16.1.2) 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程： 22222uuatx (16.1.3) 描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为： 2222200 ,( ,0 )( )( )tuuatxtxu xxuxxt (1 6 .1 .4 ) 边界条件一般有三类，最简单的初边值问题为： 2222212000, 0( ,0 )(0 , )( ),( , )( )0( )tuuatTxltxu xlutg tu l tg ttTuxxt (1 6 .1 .5 ) 1 6 .1 .3 抛物型方程 其最简单的形式为一维热传导方程： 220(0 )uuaatx (1 6 .1 .8 ) 方程可以有两种不同类型的定解问题： (1 ) 初值问题： 2200 ,( ,0 )( )uuatxtxu xxx (1 6 .1 .6 ) (2 ) 初边值问题： 221200, 0( ,0 )( )0(0 , )( ),( , )( )0uuatTxltxu xxxlutg tu l tgttT (1 6 .1 .7 ) 其中( )x，1 ( )g t ，2 ( )gt 为已知函数，且满足连接条件： 12(0 )(0 ),( )(0 )glg (1 6 .1 .8 ) 边界条件12(0 , )( ), ( , )( )utg t u l tg t为第一类边界条件。 第二类和第三类边界条件为： 10122( )( )( )( )xx lut...
