梯形典型例题典型例题例 1：已知梯形 ABCD的面积是 32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________．思路分析本题是几何中的计算问题．通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长．解：如图 4-50 ，梯形 ABCD中，AD∥BC，BD⊥ BC．设 AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，，（熟记梯形面积公式）解得 x+y=8，z=8，过 D作 DE∥AC交 BC的延长线于 E．∴四边形 ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）∴DE=AC，AD=CE．（将“上底 +下底”转化到一条线段上）在 Rt△ DBE中，∠ DBE=90° ，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，根据勾股定理得， AC=DE，．点评：本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题．解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用．解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”．例 2：如图 4-51，已知 AB=BC，AB∥CD，∠ D=90° ， AE⊥BC．求证： CD=CE．思路分析这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．证明：如图 4-52 ，连结 AC，过 C作 CF⊥AB于 F．在△ CFB和△ AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）（构造三角形证明三角形全等）∴△ CFB≌△ AEB（AAS）∴CF=AE． ∠ D=90° ，CF⊥AB且 AB∥CD，∴AD=CF，∴AD=AE．在 Rt△ ADC和 Rt△AEC中，∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）∴CD=CE．点评：本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用．在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形．将题中已知条件AB=BC中的两条线段 AB和 BC分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常用到的．例 3：如图 4-53，梯形 ABCD中，AB∥DC，AD=BC，延长 AB至 E，使 BE=DC．求证：AC=CE．思路分析本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法．证法一： 四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ ADC=∠BCD...
