正弦定理、余弦定理综合应用例 1.设锐角三角形ABC 的内角 ABC， ，的对边分别为 abc， ，，2 sinabA．（Ⅰ）求 B 的大小；（Ⅱ）求 cossinAC 的取值范围．解：（Ⅰ）由2 sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA ，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．（Ⅱ） cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3 sin3A．由ABC△为锐角三角形知，22AB ，2263B．2336A，所以 13sin232A．由此有333sin3232A，所以， cossinAC 的取值范围为3 322，．例 2.已知ABC△的周长为21 ，且 sinsin2 sinABC ．（I）求边 AB 的长；（II ）若ABC△的面积为 1 sin6C ，求角 C 的度数．解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB ，两式相减，得1AB．（II ）由ABC△的面积 11sinsin26BC ACCCgg，得13BC ACg，由余弦定理，得222cos2ACBCABCAC BCg22()2122ACBCAC BCABAC BCgg，所以60Co ．例 3.已知 a，b，c 为△ ABC 的三个内角A，B，C 的对边，向量m＝（1,3），n＝（cosA,sinA）.若 m⊥n，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B＝6π. 例 4.设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a,b,c，且 A= 60o ，c=3b.求 ac的值；解：由余弦定理得2222 cosabcbA＝2221117()2,3329ccc ccgg g故7 .3ac例 5.在△ ABC中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6abc, 则coscoscosbcAcaBabC 的值为. 612例 6.在△ ABC 中，角 A、 B、C 所对的边分别为a 、b、 c ，若CaAcbcoscos3，则Acos_________________.33例 7.(2009 年广东卷文 )已知ABC 中，CBA,,的对边分别为, ,a b c 若62ac且75Ao ，则 b【解析】000000026sinsin 75sin(3045 )sin 30 cos45sin 45 cos304A由62ac可知 ,075C,所以030B,1sin2B由正弦定理得sin2sinabBA, 例 8.（2009 湖南卷文）在锐角ABC 中，1,2,BCBA 则cosACA的值等于2 ，AC 的取值范围为(2,3). 解: 设,2 .AB由正弦定理得,12.sin 2sin2coscosACBCACAC由锐角ABC 得 0290045oooo，又 01803903060ooooo，故233045cos22oo，2cos(2,3).AC例 9.（2009 全国卷Ⅰ理）在ABC 中，内角A、 B、C 的对边长分别为a 、 b 、 c ，已知222acb ，且 sincos3cossin,ACAC求 b 解法一：在ABC中sincos3cossin,ACACQ则由正弦定理及余弦定理有: 2222223,22abcbcaacabbcgg化简并整理得：2222()acb . 又由已知222acb24bb .解得40(bb或舍）. 解法二 :由余弦定理得 ...
