正方形内套45° 专题训练四十问已知正方形 ABCD，AB=6，点 P 在对角线 BD 上，AP 交 DC 于 G，PH⊥DC，PE⊥PA 交 BC 于 E，PF⊥BC，垂足为 F 点，连结 EG 交 PF 于 N，连结 AN 交PE 于 M，EK⊥BD 于 K，连结 AE 交 BD 于 Q 点。第一问求证：△ PAE 是等腰直角三角形；方法一：在四边形ABEP 中，∠ ABE= ∠APE=90° ，即∠ABE+∠APE=180° ，由此可知A、B、E、P 四点共圆 . 故∠ AEP=∠ABD=45 ° ，所以△ PAE 是等腰直角三角形。方法二：根据对称性知AP=CP，∠ PAB=∠PCB. 在四边形 ABEP 中，∠ ABE= ∠APE=90° ，即∠ PAB+∠PEB=180° ，又∠ PEB+∠PEC=180° ，所以∠ PAB=∠PEC，故∠ PEC=∠PCB，PE=PC，AP =PE . 又∠ APE=90° ，所以△ PAE 是等腰直角三角形。方法三：过 P 做 PI 垂直 AB，垂足为 I，易知四边形 IBFP 为正方形 . 由∠ APE=∠IPF=90° 可得 ∠API= ∠EPF. 又 PI=PF，故 Rt△AIP≌Rt△EFP，从而 AP=EP. 所以△ PAE 是等腰直角三角形。第二问求证： EF=FC ；简证：由第一问方法二可知EP=CP. 又 PF⊥BC，故 EF=FC（“三线合一”）。第三问求证： PB-PD=2 BE；简证： PB=2 BF，PD=2 PH=2 FC=2 EF，故 PB-PD=2 （BF-EF）=2 BE。第四问求证： EG=EB+DG ；简证：由第一问可知∠ EAP=45° ，即∠ BAE+ ∠GAD=45° . 在 CB 的延长线上取一点G′ ，使BG′ =DG. 易知 Rt△ABG′ ≌Rt△ADG ，即∠ G′ AB= ∠GAD，AG ′ =AG. 所以∠ G′ AE=∠G′ AB+ ∠BAE= ∠GAD+ ∠BAE=45 ° . 在△ G′ AE 和△ GAE 中，AG′ =AG，∠ G′ AE=∠GAE=45° ,AE=AE 即△ G′ AE≌△GAE，从而 EG=EG′ =EB+BG′ =EB+DG。第五问求证： BC+BE=2 BP；简证：由第二问可知EF=FC，故 BC+BE=2BF. 又 BP=2 BF，即2 BP=2BF，所以 BC+BE=BP。第六问求证： GA 平分∠ DGE ；简证：由第四问可知∠AG′ E=∠AGE=∠AGD, 故 GA 平分∠ DGE。第七问求证： A 到 EG 的距离为定值；方法一： 过点 A 作 EG 的垂线，垂足为N′ . 由第六问可知GA 平分∠ DGE，即∠ AGN ′ =∠AGD ，故 Rt△AGN′ ≌Rt△AGD, 所以 AN′=AD=6 ，即 A 到 EG 的距离为 6（定值）。方法二：令 A 到 EG 的距离为 h，BE=x，DG=y. 由等面积法，得yxyxhyx66216216216621，即.36yxxyh由勾股...
