武汉大学 2004 年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目名称：数学分析科目代码： 369 一、计算下列各题：1．2. 2212lim(...),(1)11 ()1lim()11(1)1nnnnnnaaaanaaaaaalim(sin1sin)11lim 2sin()cos2211lim 2sincos22(1)0xxxxxxxxxxxxx3.4. 2030220sin()limsin()lim( ')313xxxtdtxxL Hospitalx法则2111arctan2arctan(21)arctan(21)244kkkkk5. 4812481232331...( )59!13!1( )...3!11!15!( )( )sin( )4( )( )( )24xxABeeA xB xxAeeeeBA xB x！7！6. "'2"22'2( ,)()( ),( )( ,)( ,)()( )()()( , )()(23)()(1)()xyxxyyxyxyyxyF x yxyz f z dzf zFx yFx yz fz dzxxyxfxyxxFx yfxyf xyxyyfxyyy设：其中为可微函数，求二、设113(1)0(1,2,3...)3nnnxxxnx，，，证明： limnnx 存在，并求出极限证明：211113(1)333(33)(3)33(1)3,3(2)3,33nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx当不难证明当不难证明得到单调有界数列，所以存在极限，不难知极限为三、( ),( )[ , ]( , )'( )0f xg xa ba bg x设在上连续，内可导，，( )( )'( )( , )( )( )'( )f affa bgg bg证明：，使证明：（另外，还可以用上下确界的方法做）( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( , ),'( )'( ) ( )( )'( )'( ) ( )( )'( )0( )'( )( )'( )'( ) ( )'( ) ( )'( )( ( )( ))'( )( ( )( )H xf x g xf x g bf a g xH af a g bH bRollea bHfgfgfg bf a gfgf a gfg bfggff afg bg构造辅助函数根据中值定理，存在整理：)'( )0,( )( )( )0g xg xg bg从而单调，从而原式成立四、讨论22 ,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yf x yxyx y在（ 0，0）点的连续性和可微性解：（1）连续性：2222( ,)(0,0)( , )(0,0)( ,)(0,0)( ,)(0,0)2,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)0lim( , )limlimlim01 ()x yx yx yx yxyx yf x yxyx yxyyf x yyyxyx从而知连续（2）可微性322223222232()()( , )(, )1()1fyxxyxyfxyxyxyx yky yfxkfy显然不连续同样不连续。所以不可微五、计算曲线积分LIydxzdyxdzL，其中 为圆周：2222(0)0xyzaaxyz，L 的方向是：从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 解：2222'20()()()(2),'33()33LLLSxyzaxyzIydxzdyxdzydzdyzdyyz dzzy dyyz dz LLyzadydzaa为 在平面的投影六、计 算 曲 面 积 分222,,SIyzdxdyzxdydzxydzdxSxyRzh其中 为由：（h,R>0）及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧. 解：另外可以用Stokes 公式做20002200000022()( cossin)(cossin )4ShaVhahaIyzdxdyzxdydz xydzdxyzx dxdydzrrz drd dzdzdrdrzdzddrh aha七、证明：21(1)[0,1]nnxx在上一致收敛解：222210,1,[0,],,21(1)(1)11,[1],1,21(1)(1)(1)110,,NMNMnNNnNMNMnNnNNxNMxxxxxxxxNMxxxxxxxNCauchy(1) 对取1-(2) 取1-，所以，对只要根据收敛准则知一致收敛八、证明积分200cos()||1pxdxppx在上一致收敛解：另外可以用积分判别法的Dirichlet 定理做200210020100212 2cos()cos( )coscos221(0,1)2cossinsin|2220,sinsinsin24pppaaaaMMMaaNNNxxdxdxxxxxdxdxxxpaxxaxdxdxxxxNaxaxdxdxxdxxx对任意不难证明足够大的时候：从而得证
