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§10格林函数法求解稳定场问题VIP免费

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1 第十讲 格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green’s Fu nction) Green’s Fu nction, 又名源函数,或影响函数,是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看,一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系: 热传导方程(Heat Eq.): 2222 ,uauf r tt 表示温度场u与热源,f r t 之间关系 Poission’s Eq.:  20 uf r   表示静电场u 与电荷分布 f r之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生,也可以由一个点源产生。但是,最重要的是连续分布源所产生的场,可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如,在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势: 2  '''04VrdVrr 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说,知道了一个点源的场,就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以,研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Grenn’s Fu nctions 的概念。 Green’s Fu nctions:代表一个点源所产生的场。 下面,我们先给出 Green’s Fu nctions 的意义,再介绍如何在几个典型区域求出格林函数,并证明格林函数的对称性,最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。 (我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中的应用。) 普遍而准确地说,格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以,我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green’s Fu nctions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green’s Fu nctions. 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题: 3      201 fsu rru ru rrn  这里讨论的是静电场 u r,  f r代表自由电荷密度。 格林函数,G r r :位于'r 的单位正电荷在r 处所激发的满足齐次边界条件的电势。 三维 Green’s Fu nctions 定解问题为: ①  2301,,0SG r rrrG r rG rn  这里3 rr表述了单位正电荷的体密度。 注意:对于第二类齐次边界条件且对于有限的研究区域,这个定解问题无解。这是因为,虽然方程说...

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