1 第十讲 格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green’s Fu nction) Green’s Fu nction, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： 热传导方程（Heat Eq.）： 2222 ,uauf r tt 表示温度场u与热源,f r t 之间关系 Poission’s Eq.： 20 uf r 表示静电场u 与电荷分布 f r之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势： 2 '''04VrdVrr 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Grenn’s Fu nctions 的概念。 Green’s Fu nctions：代表一个点源所产生的场。 下面，我们先给出 Green’s Fu nctions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。 （我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中的应用。） 普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green’s Fu nctions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green’s Fu nctions. 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题： 3 201 fsu rru ru rrn 这里讨论的是静电场 u r， f r代表自由电荷密度。 格林函数,G r r ：位于'r 的单位正电荷在r 处所激发的满足齐次边界条件的电势。 三维 Green’s Fu nctions 定解问题为： ① 2301,,0SG r rrrG r rG rn 这里3 rr表述了单位正电荷的体密度。 注意：对于第二类齐次边界条件且对于有限的研究区域，这个定解问题无解。这是因为，虽然方程说...
