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《实变函数》第四章可测函数VIP免费

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第1页(共15 页) 第四章 可测函数(总授课时数 14学时) 由于建立积分的需要,我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数,并讨 论其性质和结构. §1 可测函数及其性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质 教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好 的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 1 可测函数定义 定义:设( )f x 是可测集 E 上的实函数(可取 ),若[],faaR E 可测,则称( )f x是 E 上的可测函数. 2 可测函数的性质 性质 1 零集上的任何函数都是可测函数。 注:称外测度为 0 的集合为零集;零集的子集,有限并,可数并仍为零集 性质 2 简单函数是可测函数 若1niiEE  (iE 可测且两两不交),( )f x 在每个iE 上取常值ic ,则称( )f x 是 E 上的简单函数; 1( )( )iniEif xcx  其中1( )0iiEixExxEE  注:Dirichlet 函数是简单函数 性质 3 可测集 E 上的连续函数( )f x 必为可测函数 设( )f x 为 E 上有限实函数,称( )f x 在0xE处连续 00(, )((), )0,0,()xf xf OEO若使得 对比:设( )f x 为,a b 上有限实函数,0( )( , )f xxa b在处连续 00lim( )()xxf xf x若 第2页(共15 页) 000,0,|||( )() |xxf xf x即当时,有 00(, )((), )0,0,( )xf xxOf xO即当时,有 00(, )((), )0,0,()xf xf OO即使得 ( )f x在0[ , ]xa b处连续(对闭区间端点则用左或右连续) 证明:任取xE fa, 则 f xa,由连续性假设知, 对( ),0,xf xa使得 ( ,)(( ), )()( ,)xxf xf OEOa 即( ,)[]xxfaOEE.令[]( ,)xfaxxEGO则G 为开集,当然为可测集, 且另外 [][]( ,)( ,)[]()()xxfafaxxfaxExEGEOEOEE 所以 [][]( ,)()xfafaxxEEOEGE, 故[]faEGE为可测集 性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数( )f x必为可测函数。 证明:不妨...

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