第1页（共15 页） 第四章 可测函数（总授课时数 14学时） 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构. §1 可测函数及其性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质 教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好 的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 1 可测函数定义 定义：设( )f x 是可测集 E 上的实函数(可取 )，若[],faaR E 可测，则称( )f x是 E 上的可测函数. 2 可测函数的性质 性质 1 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为 0 的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质 2 简单函数是可测函数 若1niiEE (iE 可测且两两不交），( )f x 在每个iE 上取常值ic ，则称( )f x 是 E 上的简单函数； 1( )( )iniEif xcx 其中1( )0iiEixExxEE 注：Dirichlet 函数是简单函数 性质 3 可测集 E 上的连续函数( )f x 必为可测函数 设( )f x 为 E 上有限实函数，称( )f x 在0xE处连续 00(, )((), )0,0,()xf xf OEO若使得 对比：设( )f x 为,a b 上有限实函数，0( )( , )f xxa b在处连续 00lim( )()xxf xf x若 第2页（共15 页） 000,0,|||( )() |xxf xf x即当时，有 00(, )((), )0,0,( )xf xxOf xO即当时，有 00(, )((), )0,0,()xf xf OO即使得 ( )f x在0[ , ]xa b处连续(对闭区间端点则用左或右连续) 证明：任取xE fa, 则 f xa,由连续性假设知， 对( ),0,xf xa使得 ( ,)(( ), )()( ,)xxf xf OEOa 即( ,)[]xxfaOEE.令[]( ,)xfaxxEGO则G 为开集，当然为可测集， 且另外 [][]( ,)( ,)[]()()xxfafaxxfaxExEGEOEOEE 所以 [][]( ,)()xfafaxxEEOEGE， 故[]faEGE为可测集 性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数( )f x必为可测函数。 证明：不妨...
