下载后可任意编辑大学高等数学,下考点分类08-12 年高等数学下考点分类一、偏导数的几何应用 1.[12]求曲面在点处的切平面和法线方程解: 令，则从而切点的法向量为从而切平面为 法线方程为 2.[08]设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数解：方程组两端对求导，得把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为所求方向导数为 3.[08]给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。 证：令，则 从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。 显然时成立，故切平面均过。 二、多元函数的极限、连续、可微 1.[12]证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数。 证明：因为与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续 。 又 ，或，或于是函数在点存在有一阶偏导数。 2.[11]设函数。试证在点处是可微的解 用定义求出 3.[10]证明：在点(0,0)处连续，与存在，但在(0,0)处不可微。 解：（1） 4.[09] 5.[08]函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 充分条件（填必要、充分或充要） 三、复合函数求导 1.[12]设，则 0 1下载后可任意编辑 2.[12]设,则 3.[12]设,求 解 令，则 ，于是用公式得 4.[11]设,则 5.[11]设可微，且，则 6.[11]设，其中可微，证明证明 由于 7.，将变换为下的表达式。 解： 8.[09] 9.[09]设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。 解： 10.[09]求由方程组所确定的及的导数及。 解： 11.[08]设有连续偏导数，则 12.[08]设，求解：两边取微分，得 从而， 四、多元函数的极值 1.[12]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。 解 设点为，则等价于求在约束之下的最小值。令且由 解得驻点，最短距离为 2.[11]若函数在点处取得极值，则常数 3.[11]设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。 解 令，2 由，求出唯一驻点 6 由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为 374.5.[09]求函数在圆域的最大值和最小值。 解：方法一：当时，找驻点 ，得唯一驻点当时，是条件极值，考虑函数，解方程组可得所求最大值为 ，最小值为。 方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为 4，最小2下载后可任意编辑值为。 方法三：圆域可写成 最大值为 4，最小值为。 [08]设，则它有微小值 五、梯度、方向导数 1.[12]函数在点处沿指向...
