求线面角的三种常见思路方法舒云水本文以 2009 年卷理 18 题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒如图 1，在正三棱柱111ABCA B C 中，12ABAA ，点 D 是11A B 的中点，点 E 在11A C 上，且 DEAE⊥．（I）证明：平面 ADE平面11ACC A ；（II ）求直线 AD 和平面1ABC 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明略．下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒思路 1：直接作出线面角求解﹒分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点 D 在特殊位置上——线段11BA的中点， 所以本题比较容易作出线面角﹒如图 2，取 AB 的中点 F ，连结 DF ，1DC ，FC1，则面1DFC面1ABC ，过 D 作FCDH1于 H ，则 DH面1ABC ，连结 AH ，则HAD 是 AD 和平面1ABC 所成的角﹒解法 1如图 2，设 F 是 AB 的中点，连结 DF ，1DC ，1C F ．由正三棱柱111ABCA B C 的性质及 D 是11A B 的中点知，111A BC D⊥， 11A BDF⊥．又1C DDFID，所以11A B ⊥ 平面1C DF ．而11ABA B∥，所以 AB⊥平面1C DF ．又 AB平面1ABC ，故平面1ABC ⊥平面1C DF ．过点 D 作 DH 垂直1C F 于点 H ，则 DH ⊥平面1ABC ．连结 AH ，则HAD 是直线 AD 和平面1ABC 所成的角．由已知12ABAA ，不妨设12AA，则2AB，2DF，13DC，15C F，2211ADAAA D3 ，11·233055DF DCDHC F．所以10sin5DHHADAD．即直线 AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为105 ．思路 2：用等体积法求出点D 到面1ABC 的距离 h， ADh 为所求线面角的正弦值．分析如图 3，连结DC1， BD ，即得四棱锥1ABCD．用等体积法，即DABCABCDVV11，容易求出点D 到平面1ABC 的距离 h，ADh 为所求线面角的正弦值．解法 2：如图3，连结DC1， BD ．因为平面111CBA平面1AB ，DC111BA，所以DC1平面1AB ．不妨设12AA，则2AB，13DC，611BCAC，BDAD=3 . 易求2ADBS，51ABCS．设 D 在平面1ABC 的射影为 H ，hDH，连结 AH ，则HAD 是直线 AD 和平面1ABC 所成的角．因为DABCABCDVV11，所以有ABDABCSDCSh131311，65h，530h．所以10sin5DHHADAD．即直线 AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为105 ．思路 3：坐标向量法．解法 3如图 4，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设12AA，则2AB，相关各点的坐标分别是(01 0)A， ， ，( 3 0 0)B，， ，1(012)C，，，31222D，，．易知...
