2010 年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题 4 分，共 32 分）1.0sinsin(sin )limsinxxxx2.22ln(1)1xxyx，/y3.2cosyx ，( ) ( )nyx4.21xx e dxx5.4211dxx6. 圆222222042219xyzxyzxyz的面积为7.(2,)xzfxyy， f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3ff，则( , ) (2,1)x ydz8. 级数11( 1)!2!nnnnn的和为 . 二. （10 分）设( )f x 在,a b 上连续，且( )( )bbaabf x dxxf x dx，求证：存在点,a b ，使得( )0a f x dx. 三．（10 分）已知正方体1111ABCDA B C D 的边长为 2， E 为11D C 的中点， F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面 ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12 分）已知 ABCD 是等腰梯形，//,8BCAD ABBCCD, 求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕 AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（ 12 分）求二重积分22cossinDxy dxdy，其中22:1,0,0Dxyxy六、（12 分）求21xxyedxxy dy ，其中为曲线22201212xxxyxx从0,0O到1, 1A. 七. （12 分）已知数列na单调增加，123111,2,5,,3nnnaaaaaa2,3,,n记1nnxa，判别级数1nnx 的敛散性 . 2010 年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题 4 分，共 32 分）1.0sinsin(sin )limsinxxxx2.2arctantanxyxex ，/y3. 设由yxxy 确定 yy x ，则 dydx4.2cosyx ，( ) ( )nyx5.21xx e dxx6.(2,)xzfxyy， f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3ff，则( , ) (2,1)x ydz7 设,f u v 可微，由22,0F xzyz确定,zz x y ，则zzxy8. 设22:2 ,0Dxyx y，则22Dxy dxdy二. （10 分）设 a 为正常数，使得2axxe对一切正数 x 成立，求常数 a 的最小值三 . （10分）设 fx 在 0,1 上连续，且1100( )( )f x dxxf x dx，求证：存在点0,1 ，使得0( )0f x dx. 四. （12 分）求广义积分4211dxx五．（12 分）过原点0,0 作曲线lnyx 的切线，求该切线、曲线lnyx 与 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 六、（12 分）已知 ABCD 是等腰梯形，//,8BCAD ABBCCD, 求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕 AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。七（ 12 分）求二重积分22cossinDxy dxdy，其中22:1,0,0Dxyxy2008 年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5 分，共...
