数学难题 一．填空题（共2 小题） 1．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD 交于点O1；O1D 的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B 与点D1 重合，折痕与BD 交于点O2；设O2D1 的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B 与点D2 重合，折痕与BD 交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD 交于点On，则BO1= _________ ，BOn= _________ ． 2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB 上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2 的顶点坐标为 _________ ；抛物线C8 的顶点坐标为 _________ ． 二．解答题（共28 小题） 3．已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数． 4．已知：关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0． （1）求证：方程总有实数根； （2）当k 取哪些整数时，关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0 的两个实数根均为负整数？ 5．在平面直角坐标系中，将直线l：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线C1： 沿x轴平移，得到一条新抛物线C2 与y轴交于点D，与直线AB 交于点E、点F． （1）求直线AB 的解析式； （2）若线段 DF∥ x轴，求抛物线C2 的解析式； （3）在（2）的条件下，若点F 在y轴右侧，过 F 作 FH⊥ x轴于点G，与直线l 交于点H，一条直线m（m 不过△AFH的顶点）与AF 交于点M，与FH 交于点N，如果直线m 既平分△AFH 的面积，又平分△AFH 的周长，求直线m的解析式． 6．已知：关于x的一元二次方程﹣x2+（m+4）x﹣4m=0，其中0＜m＜4． （1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）； （2）设抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m 与x轴交于A、B 两点（A 在 B 的左侧），若点 D 的坐标为（0，﹣2），且AD•BD=10，求抛物线的解析式； （3）已知点 E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有 y1、y2、y3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由． 7．点 P 为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m 为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点 G 逆时针旋转 90°后得到的新图象与y轴交于A、B 两点（点 A 在点 B 的上方...
