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利用导数求函数单调性题型全归纳

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利 用 导 数 求 函 数 单 调 性 题 型 全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数(方程根的个数) 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2( )ln(0,1)xf xaxxa aa,求函数)(xf的单调区间 解:( )ln2ln2(1)lnxxfxaaxaxaa++. 则令( )( )g xfx,因为当0,1aa ,所以2( )2ln0xg xaa 所以( )fx在 R 上是增函数,又(0)0f ,所以不等式( )0fx的解集为(0,)+, 故函数( )f x 的单调增区间为(0,)+ 减区间为:(0), 变式:已知( )xf xeax,求( )f x 的单调区间 解:'( )xfxea,当0a 时,'( )0fx ,( )f x 单调递增 当0a 时,由'( )0xfxea得:lnxa,( )f x 在(ln,)a  单调递增 由'( )0xfxea得:lnxa,( )f x 在(ln)a,单调递增 综上所述:当0a 时,( )f x 的单调递增区间为:   (,),无单调递减区间 当0a 时,( )f x 的单调递增区间为:(ln,)a  ,递减区间为:(ln)a, 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32( )25f xxaxx在1 13 2( ,)上既不是单调递增函数,也不是单调递减函数,求正整数a 的取值集合 解:2( )322fxxax 因为函数32( )25f xxaxx在1 13 2(,)上既不是单调递增函数,也不是单调递减函数 所以2( )322=0fxxax在1 13 2(,)上有解 所以''11( )( )032ff,又*aN,解得:5542a,所以正整数a 的取值集合{2} 三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数( )lnxf xaxx,若函数( )yf x在1(,)上是减函数,求实数a 的最小值. 解:因为( )lnxf xaxx在1(,)上是减函数 所以'2ln1( )0(ln )xfxax在1(,)上恒成立,即2ln1(ln )xax在1(,)上恒成立 令ln ,(1)txx,则0t,21( )(0)th ttt,则max( )ah t 因为222111111( )=( )()24th ttttt,所以max1( )= (2)4h th,所以14a 变式:若函数3211( )(1)132f xxaxax在区间 1,4()上为减函数,在区间(6,)上为增函数,试求实数a 的取值范围. 解:2'( )=1fxxaxa 因为函数( )yf x在区间 1,4()上为减函数,在区间(6,) 上为增函数 所以''( )0(1,4)( )0,(6,)...

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