利用导数求函数单调性题型全归纳

利 用 导 数 求 函 数 单 调 性 题 型 全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2( )ln(0,1)xf xaxxa aa，求函数)(xf的单调区间 解：( )ln2ln2(1)lnxxfxaaxaxaa++. 则令( )( )g xfx，因为当0,1aa ，所以2( )2ln0xg xaa 所以( )fx在 R 上是增函数,又(0)0f ,所以不等式( )0fx的解集为(0,)+, 故函数( )f x 的单调增区间为(0,)+ 减区间为：(0)， 变式：已知( )xf xeax，求( )f x 的单调区间 解：'( )xfxea，当0a 时，'( )0fx ，( )f x 单调递增 当0a 时，由'( )0xfxea得：lnxa，( )f x 在(ln,)a  单调递增 由'( )0xfxea得：lnxa，( )f x 在(ln)a，单调递增 综上所述：当0a 时，( )f x 的单调递增区间为：   （，），无单调递减区间 当0a 时，( )f x 的单调递增区间为：(ln,)a  ，递减区间为：(ln)a， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32( )25f xxaxx在1 13 2（ ，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2( )322fxxax 因为函数32( )25f xxaxx在1 13 2（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2( )322=0fxxax在1 13 2（，）上有解 所以''11( )( )032ff，又*aN，解得：5542a，所以正整数a 的取值集合{2} 三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数( )lnxf xaxx，若函数( )yf x在1（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为( )lnxf xaxx在1（，）上是减函数 所以'2ln1( )0(ln )xfxax在1（，）上恒成立，即2ln1(ln )xax在1（，）上恒成立 令ln ,(1)txx，则0t，21( )(0)th ttt，则max( )ah t 因为222111111( )=( )()24th ttttt，所以max1( )= (2)4h th，所以14a 变式：若函数3211( )(1)132f xxaxax在区间 1,4（）上为减函数，在区间(6,)上为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：2'( )=1fxxaxa 因为函数( )yf x在区间 1,4（）上为减函数，在区间(6,) 上为增函数 所以''( )0(1,4)( )0,(6,)...