化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax2bxycyf. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度 ，作转轴（反时针方向转轴） ''''xx cosy sinyx siny cos  （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 （1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设 P 是 一 数 域 ， 一 个 系 数 在 数 域 P 上 的12nx ,x ,..., x的二次齐 次多 项 式22212n11112121n1n2222n2nnnnf (x ,x ,..., x )a x2a x x...2a x xa x...2a x x...a x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12nx ,x ,..., x ；12ny , y ,..., y 是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式 11111221nn22112222nn33113223nnnn12n22nnnxc yc y...c yxc yc y...c yxc yc y...c y...........xc yc y...c y （4） 称为由12nx ,x ,..., x 到12ny , y ,..., y 的一个线性替换，。如果ijc0，那么线性替换（4）就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另ijjia =a ，i