北航硕士数值分析大作业第三题

1 数值分析 A 计算实习题目 第三题 一、算法设计方案 题目分析如下： 若要进行达到一定精度的曲面拟合，则要得到在各点 ( ,)ijx y的函数值( ,)ijf x y，其中010,020ij； 如果得到各点的函数值，需要根据给出的, ,z t u 二维数表进行二次插值； 如果进行二次插值，则需要根据( ,)ijx y通过题中给出的非线性方程组解出插值点出对应的 ,t u 值，因此要解决整个问题，需要从解非线性方程组开始。 1.1 New ton 法解非线性方程组 New ton 法求方程组的解*x（对应未知数为( , , , )t u v w ），可采用如下的算法： 1) 在*x 附近选取初值(0)x，给定精度水平0 ； 2) 计算( )()kF x和( )'()kF x，其中有 ( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )2( )( )( )( )( )3( )( )( )( )( )4()0.5cos()2.67()0.5sin()1.07()0.5cos()3.74()0.5sin()0.79kkkkkikkkkkjkkkkkikkkkkjF xtuvwxF xtuvwyF xtuvwxF xtuvwy 2 ( )( )( )( )( )0.5sin()11110.5cos()11'()0.51sin()110.51cos()kkkkktuF xvw  3) 通过Doolittle 法求解如下的线性方程组 ( )( )( )'()()kkkF xxF x  4) 若( )( )/kkxx，则取*( )kxx，并停止计算，否则进入下一步； 5) 计算(1)( )( )kkkxxx  ，并回到第（2）步。 如此反复迭代，即可得到满足精度的非线性方程组的解，即得到各个 ( ,)ijt u的值。（其中010,020ij） 1 .2 分片二次插值 根据得到的各个( ,)ijt u值和给出的, ,z t u 二维数表，即可进行分片二次插值，得到插值点出的( , )f x y 值。具体算法如下： 对( , )x y ，若满足 ,2222,2222iiiihhxxxinyyyjm  则应选择(,)krxy(1, ,1;1, ,1)kii irjj j 为插值节点，相应的插值多项式为 112211( , )( ) ( ) (,)ijkrkrk irjpx yl x l y f xy   其中 1111( )(1, ,1)( )(1, ,1)itkt iktt kjtktjktt rxxlxkii ixxxxlyrjj jxx    3 如果12hxx或12nhxx，则在22p的表达式中取1i 或 1in ；如果12yy或12myy，则取1j  或 1jm 。 在此题中，t 对...