教案函数的幂级数展开复旦大学陈纪修金路1．教学内容函数的幂级数（Taylor级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。2．指导思想（1）函数的幂级数（Taylor级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。3.教学安排首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f(x)在x0的某个邻域O(x0,r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f(x)在x0的Taylor级数：（*）另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：(1)f(x)=ex=+…,x∈(-∞,+∞)。(2)f(x)=sinx=+…,x∈(-∞,+∞)。(3)f(x)=cosx=+…,x∈(-∞,+∞)。(4)f(x)=arctanx=1+…,x∈[-1,1]。(5)f(x)=ln(1+x)=+…,x∈(-1,1]。(6)fxx()()1，α≠0是任意实数。当是正整数m时，f(x)=(1+x)m=1+mx++…++xm，x∈(-∞,+∞)即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。当不为0和正整数时，,其中=,(n=1,2,…)和。设函数f(x)在x0的某个邻域O(x0,r)中任意阶可导，要求它在O(x0,r)中的幂级数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法：1．通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。例1求在的幂级数展开。解利用部分分式得到，再利用（6）式（），得到，例2求在的幂级数展开。解，利用（2）式与（3）式，即得到例3求关于变量的幂级数展开。解令则。利用（5）式，即得到22．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。例4求在的幂级数展开。解由于，利用逐项求导，即可得到例5求f(x)=arcsinx在的幂级数展开。解利用(6)式，可知当x(-1,1)时，===1+++…++…，对等式两边从0到x积分，利用幂级数的逐项可积性与=arcsinx，即得到arcsinx=x+，x∈[-1,1]。其中关于幂级数在区间端点x=±1的收敛性，可用Raabe判别法得到。特别，取x=1，我们得到关于π的一个级数表示：=1+。3．对形如，的函数，可分别用Cauchy乘积与“待定系数法”。设f(x)的幂级数展开为，收敛半径为R1，g(x)的幂级数展开为,收敛半径为R2，则f(x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积：f(x)g(x)=()()=,其中cn=,的收敛半径min｛R1，R2｝。当b0≠0时，我们可以通过待定系数法求的幂级数展开：设=,则()()=,分离x的各次幂的系数，可依次得到3b0c0=a0c0=,b0c1+b1c0=a1c1=，b0c2+b1c1+b2c0=a2c2=，……一直继续下去，可求得所有的cn。例6求exsinx的幂级数展开(到x5)。解exsinx=(+…)()=x++…，由于与的收敛半径都是，所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞,+∞)都成立。例7求tanx的幂级数展开(到x5)。解由于tanx是奇函数，我们可以令tanx==c1x+c3x3+c5x5+…，于是(c1x+c3x3+c5x5+…)()=，比较等式两端x,x3与x5的系数，就可得到c1=1,c3=,c5=,因此tanx=x+x3+x5+…。4．“代入法”对于例7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在==1+u+u2+…中，以u=代入，可得到=1+()+()2+…=1+x2+x4+…，然后求sinx与的Cauchy乘积，同样得到上述关于tanx的幂级数展开。需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x=的小邻域中，幂级数展开是成立的（事实上，tanx的幂级数展开的收敛范围是(-,)，它的证明...
