第 12 章 因子分析 12.1 因子分析的理论与方法 12.1.1 因子分析的基本思想 多元统计分析处理的是多变量问题。由于变量较多，增加了分析问题的复杂性。但在实 际问题中，变量之间可能存在一定的相关性，因此，多变量中可能存在信息的重叠。人们自 然希望通过克服相关性、重叠性，用较少的变量来代替原来较多的变量，而这种代替可以反 映原来多个变量的大部分信息，这实际上是一种“降维”的思想。 因子分析(factor analysis)就是一种降维、简化数据的技术。它通过研究众多变量之间的 内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个“抽象”的变量来表示其基本的 数据结构。这几个抽象的变量被称作“因子”，能反映原来众多变量的主要信息。原始的变 量是可观测的显在变量，而因子一般是不可观测的潜在变量。例如，在商业企业的形象评价 中，消费者可以通过一系列指标构成的一个评价指标体系，评价百货商场的各个方面的优劣。 但消费者真正关心的只是三个方面：商店的环境、商店的服务和商品的价格。这三个方面除 了价格外，商店的环境和服务质量，都是客观存在的、抽象的影响因素，都不便于直接测量， 只能通过其它具体指标进行间接反映。 因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方 法。又比如，在研究区域社会经济发展中，描述社会与经济现象的指标很多，过多的指标容 易导致分析过程复杂化。一个合适的做法就是从这些关系错综复杂的社会经济指标中提取少 数几个主要因子，每一个主要因子都能反映相互依赖的社会经济指标间共同作用，抓住这些 主要因素就可以帮助我们对复杂的社会经济发展问题进行深入分析、合理解释和正确评价。 12.1.2 因子分析的数学模型 因子分析中的公共因子是不可直接观测但又客观存在的共同影响因素，每一个变量都可 以表示成公共因子的线性函数与特殊因子之和，即 1122iiiimmXaFaFaFε =++++L，（1,2,,ip=L） 式中的，，称为公共因子，1FL,2FmFiε 称为的特殊因子。该模型可用矩阵表示 为： iX XAFε =+ 这里 12pXXXX.. .. ..= .. .. .... M，， 111212122212mmpppmaaaaaaAaaa.. .. ..= .. .. .... LLLLLLL12mFFFF.. .. ..= .. .. .. M， 12pε ε ε ε .. .. ..= .. .. .... M 且满足： （1）； mp≤ （2）(,)0CovFε =，即公共因子与特殊因子是不相关的； （3） 101() 01FmDDFI.. .. .==...
