- 1 - 因 式 分 解 难 题 举 例 一 、巧用公式 法 1、 分 解 因 式 ： a3+b3+c3－ 3abc． 解 原 式 =(a+b)3－ 3ab(a+b)+c3－ 3abc =［ (a+b)3+c3］ － 3ab(a+b+c) =(a+b+c)［ (a+b)2－ c(a+b)+c2]－ 3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ ab－ bc－ ca)． 说明 公 式 a3+b3+c3－ 3ab=(a+b)3－ 3ab(a+b)+c3－ 3abc c是一个 应 用 极 广 的 公 式 ， 用 它 可 以 推 出 很 多 有用的结 论 ， 例 如 ： 我 们 将公 式 其 变 形 为 a3+b3+c3－ 3abc 显 然 ， 当 a+b+c=0 时 ， 则 a3+b3+c3=3abc； 当 a+b+c＞ 0 时 ，则 a3+b3+c3－3abc≥0，即 a3+b3+c3≥3abc，而 且 ，当 且 仅 当 a=b=c时 ， 等 号 成 立 ． 如 果 令 x=a3≥0， y=b3≥0， z=c3≥0， 则 有 等 号 成 立 的 充 要 条 件 是 x=y=z． 这 也 是 一个 常 用 的 结 论 ． 2、 分 解 因 式 ： x15+x14+x13+…+x2+x+1． 分 析 这 个 多 项 式 的 特 点 是 ： 有 16 项 ， 从 最 高 次 项 x15 开 始 ， x的 次 数 顺 次 递 减 至 0， 由 此 想 到 应 用 公 式 an－ bn 来 分 解 ． - 2 - 解 因 为 x16－ 1=(x－ 1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 所 以 二 、拆项、添项法 因 式 分 解 是 多 项 式 乘 法 的 逆 运 算 ． 在 多 项 式 乘 法 运 算 时 ， 整 理 、化简常将几个同类项 合并为 一项 ， 或将两个仅符号相反的 同类项 相互抵消为 零． 在 对某些多 项 式 分 解 因 式 时 ， 需要恢复那些被合并或相互抵消的 项 ， 即把多 项 式 中的 某一项 拆成两项 或多 项 ， 或者在 多 项 式 中添上两个仅符合相反的 项 ， 前者称为 拆项 ， 后者称为 添项 ． 拆项 、添项 的 目的 是 使多 项 式 能用分 组分 解 法 进行因 式 分 解 ． 例 4 分 解 因 式 ：x3－ 9x+8． 分析 本题解 法 很多 ， 这里只介绍运 用拆项 、添项 法 分 解 的 几种解 法 ， 注意一下拆项 、添项 的 目的 与技巧． 解 法 1 将常数项 8 拆成－ 1+9． 原式 =x3－ 9x－ 1+9 =(x3－ 1)－ 9x+9 =(x－ 1)(x2+x+1)－ 9(x－ 1) =(x－ 1)(x2+x－ 8)． 解 法 2 将一次项 ...
