函数概念的发展史VIP免费

函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。再也没有其他的例子,如同象动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依依赖并同时发生变化那样，更有利于促使人们产全变量、因变量—产生函数的概念了.而这又正是解析几何学的主耍内容.14世纪时,法国数学家奥莱斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依时间t而变的变数x时,他画出了图形,把t称为“经度(longitude),把x称为“纬度”(latitude)。但是他并没有连续的概念,只是建立了孤立的点与点之简的对应.这种方法被开普勒(Kepler,德,1571-1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564-1642)应用于关于天体运行方面的研究〔2〕。17世纪的绝大部分函数是被当作曲线来研究的,而曲线被看作运动着的点的路径这样的思想通过牛顿等人的工作而获得了认可与接受。牛顿在他的《求曲边形的面积》中说:“我认为这里的数学量,不是由小块合成的,而是由连续运动描出的”。英国数学家哈略特(Harriot,1560一1621)应用了直角坐标的概念求出了曲线的方程.当坐标系一经给定,则某些几何问题便可以用代数的形式表现出，这正是解析几何学的主耍方法.这样,函数的概念便又和轨迹的代数表达式发生了密切联系.法国著名的数学家费尔玛(Fermat,1601-1665)在他的《平面、立体曲线导论》中,取相交的直线建立坐标系,导出了直线、圆还有其它一些圆锥曲线的方程。法国著名数学家笛卡尔(Descartes,1596-1650)在他的《几何学》中明确地给出了点的坐标概念,由此当点P根据某特定条件运动时,它的两个坐标之间的互变关系可用曲线的方程表示。人们通常把变量概念的引入和解析几何的诞生归功与笛卡尔,他确实让用代数关系式表示变化的量间的关系(主要是曲线)的方法逐渐流行起来了〔2〕。总的说来,尽管描绘曲线方程的解析几何的方法已出现,但至少到17世纪上半叶,纯粹的函数概念并没有被提出来。莱布尼兹(Lei-bniz)在1673年首先提出“函数”这一名词.他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量.象曲线上的横坐标,纵坐标,切线的长度,垂线的长度等。牛顿(Newton)几乎同时用另一名词“流量”来表示变量间关系。1697年,约翰·伯努利给出了函数的第一个定义:一个按照任何方式用变量和常量构成的量.1698年,他采用了莱布尼兹的说法,称这个量为“x的函数”,表示为X.1718年,他又明确定义了一个变量的函数:由这个变量和常量的任意一种方式构成的量,表示为.伯努利强调的是函数要用公式来表示了，这是函数的解析概念的第一次扩展。1734年,欧拉引入现在的函数表示形式:。欧拉就把用算术运算、三角运算和指数对数运算联结变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,并将它分成为“代数函数”和“超越函数”两类。欧拉用“解析表达式”替代了约翰的“任意形式”,明确地表述了变量之间相互依赖的变化关系。也不再强调函数一定要用公式来表示,但仍没有明确函数是某种对应关系,也没有提出函数可以不用解析式来表示.欧拉对函数的重要贡献是他考虑了用以表示被任意画出的曲线的函数,并把这种函数叫做“随意函数”。这使得函数概念为适应积分的需要作出了新的推进。1797年拉格朗日在他的《解析函数论》中把一元或多元函数定义为:自变量在其中可以按任意形式出现并对计算有用的表达式.换句话说,他认为,函数是运算的一个组合.他的代数分析的实质,就是把函数归结为无穷级数.他希望任何函数都能表示成他经过形式论证,得出他经过形式论证,得出傅立叶的工作更根本地改变了函数的面貌,震惊了当时的数学界。他一方面认为有限区间上的函数未必仅有唯一的表达式,另一方面又认为函数必须用解析式来表达,这靠他发明的傅立叶级数理论来支持。他证明了任意以π为周期的一个函数f(x)在[-π,π]可以由展开,其中后来人们又证明了不仅仅周期函数,任一连续函数在(-π,π)上都可以用正弦或余弦函数给出。柯西的函数定义;对于x的每一个值,如果y有完全确定的值与之对应,则y就叫做x的函数。这样一来,无论y是用一个式子表示的,还是用多个式子表示的,甚至是否要通过式子表示都无关紧要了,只要对x的每一个值,y有完全确定的值与之对应,则y就是x的函数。不过当时柯西在所给函数定义中,用多个式子表示函数情况是在区间上的函数,或由等表示情况...