多元函数的微分学典型例题

多元函数的微分学典型例题 1 多元函数的微分学典型例题 例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v= ) sin , cos ( a a 的方向导 数，并指出： （1） 沿哪个方向的方向导数最大？ （2） 沿哪个方向的方向导数最小？ （3） 沿哪个方向的方向导数为零？ 解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z ¶ ¶ a a sin cos + = ．因此 （1） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 p a = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导 数最大． （2） 函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 p a - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方 向导数最小． （3） 4 3p a - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向 导数为零． 例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微， 且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向 导数为 2 ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求 （1） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度； （2） 该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数． 解 （1） 设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于 x和 y 的偏导 数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有多元函数的微分学典型例题 2 x f l f = ¶ ¶ 1 2 0 1 = × + × y f ，故 2 = x f ； 2 1 0 2 - = × - × = ¶ ¶ y x f f l f ，故 2 = y f ． 因此 ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( = gragf ． （2） 在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向余弦为 ÷ ø ö ç è æ 5 4,5 3 ，设 该方向为l，则 l f ¶ ¶ ) 2 , 1 ( 5 14 5 4 2 5 3 2 = ´ + ´ = ． 例 3 验证函数 ) , ( y x f ï î ï í ì = + ¹ + + = . 0 , 0 , 0 , 2 2...