初中数学模型--米勒最值问题

ABOA OBABC运用米勒定理简解最大角问题米勒问题和米勒定理1471 年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什 么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上 100 个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：米勒问题：已知点 A 、B 是MON 的边 OM 上的两个定点，点 C 是边 ON 上的动点，则当 C 在何处时， ACB 最大？对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。米勒定理：已知点 A 、 B 是MON 的边 OM 上的两个定点，点 C 是边 ON 上的一动点，则当且仅当 ABC 的外圆与边 ON 相切于点 C 时， ACB 最大。证明：如图，设 C '、C '' 是边 ON 上不同于点 C 的任意两点，因为AC ' B 、AC '' B均是圆外角，ACB 是圆周角，易证AC ' B 、AC '' B 均小于ACB ，故ACB最大。MOC'CC''N根据切割线定理得， OC2  OA OB，即 OC ，于是我们有： ACB 最大等价于 的外接圆与边 ON 相切于点 C ， 等价于 OC2  OAOB 等价于OC  OAOB 。COAB关于切割线定理：如图，过 O 外一点画圆的一条切线 PC 和一条割线 PB ，交 O 于另一点 A ，则有 PC2  PA PB （读者可利用相似自行证明）P例题：（1）如图 1，点 A，B 在∠MQN 的边 QM 上，过 A，B 两点的圆交 QN 于点 C，D.① 点 E 在线段 CD 上（异于点 C，D），点 F 在射线 DN 上（与点 D 不重合）.试证明∠AEB>∠AFB；② 点 P 从 Q 点出发沿射线 QN 方向运动，你能发现在这个运动过程中∠APB 的大小是如何变化的？∠APB 的度数能取到最大值吗？如果能，说出点 P 的位置；（2）如图 2，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0），（5，0），当点 P 在 y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，请直接写出点 P 的坐标；若没有请说明理由。yABOCxyABOx练习 1：先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点 A、B、C、D 均为⊙O 上的点，则有∠C=∠D．小明还发现，若点 E 在⊙O 外，且与点 D 在直线 AB 同侧，则有∠D >∠E．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：（1）...