1 / 7 专题：球的切接问题一．知识点1．正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为 R 。如图 1，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR；2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 2 作截面图，圆 O为正方形 EFGH 的外接圆，易得aR22。3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 3，以对角面1AA 作截面图得， 圆 O 为矩形CCAA11的外接圆， 易得aOAR231。4. 正四面体的外接球和内切球如图 4 所示，设点 O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．正四面体的表面积223434aaS表．正四面体的体积22221234331BEABaAEaVBCDA322212233123aaaa图 1 图 2 图 3 图 4 2 / 7 BCDAVrS表31，aaaSVrBCDA12631223323表在BEORt中，222EOBEBO，即22233raR，得aR46，得rR3小结 :正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的 345. 长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。设长方体的棱长分别为a，b， c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图a 22cb（4）结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径2222cbaR二、题型与方法归类例 1、（1）若棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R＝332 ，则该球的表面积为S＝4πR2＝27π .故填 27π(2) 求棱长为1 的正四面体外接球的体积．设 SO1 是正四面体S－ABC 的高，外接球的球心O 在 SO1 上，设外接球半径为R，AO1＝ r，则在△ABC 中，用解直角三角形知识得r＝33 ，从而 SO1＝SA2－ AO21＝1－13＝23，在 Rt△AOO 1 中，由勾股定理得R2＝(23－R)2＋(33 )2，解得 R＝64 ，∴V 球＝43πR3＝43π ( 64 )3＝68 π .变式练习 : 1 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积(C) A．16πB．20πC．24π D．32π2R 3 / 7 2 已知正方体外接球的体积是323 π，那么正方体的棱长等于(D) A．22 B.233C.423D.433解析由题意知V＝43πR3＝32π3 ，∴R＝2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a，则体对角线l＝3a＝4，a...
