第四章琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数( )f x 的定义域为(a，b)，如果对于(a， b)内任意两数x1， x2，都有1212()()()22xxf xf xf①则称( )f x 为 (a，b)上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的( )f x 为区间(a，b)上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过( )yf x 曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上） ．二、琴生不等式：若( )f x 是区间(a，b) 上的凸函数，则对任意的点x1，x2，⋯， xn(a，b)，有12121()[()()()]nnxxxff xfxf xnnLL取“ =”条件： x1 = x2 = ⋯ = xn证明：注：更一般的情形：设( )f x 是定义在区间(a， b) 上的函数，如果对于(a，b)上任意两点x1，x2，有1212()()()pf xpf xfpxqx （其中1pqRpq，，），则称( )f x 是(a，b) 上的下凸函数． 其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121nnqqqRqqqLL，， ，，且，若( )f x 是区间(a，b) 上的下凸函数，则对任意的 x1， x2，⋯， xn(a，b)有1 1221122()()()()nnnnf q xq xq xq f xq f xq f xLL．取“ =”条件：12nxxxL说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式．例1证明： (1) ( )sinf xx 在 [0)，上是上凸函数(2) ( )lgg xx 在 (0)，上是上凸函数(3) ( )tan)2h xx 在[0 ，上是下凸函数证明： (1) 对12[0)xx，，121212121212()()1 (sinsin)sincossin()222222f xfxxxxxxxxxxxf(2) 对12[0)xx，，+121212lglglglg22xxxxx x即：1212()()()22g xg xxxg．(3) 当1202xx，时1212121212121212sinsinsin()2sin()tantancoscoscoscoscos()cos()xxxxxxxxxxxxxxxx1212122sin()2tancos()12xxxxxx（ sintan1cos2）即：1212()()()22h xh xxxh．例2用琴生不等式证明均值不等式nnAG ，即：1212nninaaaaRa aanLL，则．证： iaR设( )lgf xx ，则( )f x 为 (0)，上的上凸函数由琴生不等式：12121 (lglglg)lgnnaaaaaannLL即1212nnnaaaa aanLL例 3 abcR， ，，且 a + b + c = 3，求证：8181819abc．证明：设( )81f xx，则( )(0)f x 为，+上的凹函数．由琴生： 1[( )( )( )]()(1)333abcf af bf cff∴( )( )( )9f af bf c．例 4( )f x 定义在(a，b) 上，( )f x 在 (a， b) 上恒大于 0，且对12()xxab，，有21212()()[()]2xxf xf xf．求证：当12()nxxxabL，，，时，有1212()()()[(...
