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离散数学（1）复习题1

I是整数集，在I上定义运算，ab=a+2+b(1)(I，)是否代数系统

(2)是否存在单位元

(3)是否每一个元素a都存在逆元

若存在，a的逆元是什么

答案：（1）(I，)是代数系统，因为运算封闭

（2）设单位元为e，令ae=a+2+e=a可得e=-2

∴存在单位元

（5分）（3）设a的逆元为x，令ax=e，即 a+2+x=-2，可得x=-a-4

∴每一个元素a都存在逆元，a的逆元是-a-4

如果集合 A上的关系R和 S是反自反的、对称的和传递的，证明：SR是A上的等价关系

证明：（1）,,,,,,SaaRaaSRAa自反，SRSRaa,,自反

（2） Aba  ,，若SRba ,，则,,,,SbaRba由 R ，S对称，所以，,,,,SabRabSRab,，所以SR对称

（3）Acba,,，若,,,,SRcbSRba则,,,,SbaRba,,,,ScbRcb由 R ，S传递性知，,,,,ScaRca从而,,SRca所以，SR传递

综上所述，SR是A上的等价关系

设R是集合 X上的一个自反关系，求证：R是对称的和传递的当且仅当＜a,b＞和＜a,c＞在R中，则有＜b,c＞在R中

证明：（1）R是对称的和传递的 R，R则R

Xcba,,，若R，由 R对称性有R，而R，由 R传递性得R

⑵R，R则R R是对称的和传递的Xcba,,，若R，因R自反，所以R，由已知R，即 R具有对称性

若R，R，由 R对称性知R，再由已知R 即 R具有传递性

设，是半群，e是左幺元且AxAxˆ,，使得 exx*ˆ，则是群

证明：（1）cbcaba