天大离散数学

离散数学（1）复习题1.I是整数集，在I上定义运算，ab=a+2+b(1)(I，)是否代数系统？(2)是否存在单位元？(3)是否每一个元素a都存在逆元？若存在，a的逆元是什么？答案：（1）(I，)是代数系统，因为运算封闭。（2）设单位元为e，令ae=a+2+e=a可得e=-2。∴存在单位元。（5分）（3）设a的逆元为x，令ax=e，即 a+2+x=-2，可得x=-a-4。∴每一个元素a都存在逆元，a的逆元是-a-4。2. 如果集合 A上的关系R和 S是反自反的、对称的和传递的，证明：SR是A上的等价关系。证明：（1）,,,,,,SaaRaaSRAa自反，SRSRaa,,自反。（2） Aba  ,，若SRba ,，则,,,,SbaRba由 R ，S对称，所以，,,,,SabRabSRab,，所以SR对称。（3）Acba,,，若,,,,SRcbSRba则,,,,SbaRba,,,,ScbRcb由 R ，S传递性知，,,,,ScaRca从而,,SRca所以，SR传递。综上所述，SR是A上的等价关系。3.设R是集合 X上的一个自反关系，求证：R是对称的和传递的当且仅当＜a,b＞和＜a,c＞在R中，则有＜b,c＞在R中。证明：（1）R是对称的和传递的 R，R则R。Xcba,,，若R，由 R对称性有R，而R，由 R传递性得R。⑵R，R则R R是对称的和传递的Xcba,,，若R，因R自反，所以R，由已知R，即 R具有对称性。若R，R，由 R对称性知R，再由已知R 即 R具有传递性。4.设，是半群，e是左幺元且AxAxˆ,，使得 exx*ˆ，则是群。证明：（1）cbcabaAcba则若 **,,,cbcebecaabaacaabaaacaba:**,*)*ˆ(*)*ˆ()*(*ˆ)*(*ˆˆ**:即使事实上(2)e是之幺元。事实上：由于e是左幺元，现证e是右幺元。为右幺元即由使exexxxeeeexxexxxAexAx,*)1(*ˆ**)*ˆ()*(*ˆˆ,*,（3）AxAx1,则xxexxxxexxxexexxxxxxxAxˆˆ**ˆˆ***)*ˆ(**)ˆ*(:有逆元故有事实上由（2），（3）知：为群。5.设是一个代数系统，*是R上二元运算，bababaRba*,，则0是幺元且是独异点。证明：[幺]Ra，000*,00*0aaaaaaa即为幺元00**0aaa[乘]Rba  ,，由于+，·在 R封闭...