3 夹半角 知识目标 目标一：掌握夹半角的常见辅助线和常见结论；目标二：掌握夹半角模型的构造及应用 模块一 夹半角的模型 知识导航 夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型． 夹半角模型分类： （1）90 度夹45 度；（2）120 度夹60 度；（3）2α 夹α． 题型一 9 0 度夹4 5 度 【例1】 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，E 在BC 上，F 在CD 上，且∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF（2）∠AEB=∠AEF． 【练】在例1 的条件下，若 E 在CB 延长线上，F 在DC 延长线上，其余条件不变，证明： （1）DF-BE=EF； （2）∠AEB+∠AEF=180°． 【例2】已知△ABC 为等腰三角形，∠ACB=90°，M、N 是AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2． 【练】在例2 中，若M 在BA 延长线上，N在AB 上，其余条件不变，试探究AM、BN、NM之间的关系． 【知识扩充】 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如： 【变式1】如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F 为CD 中点，点 E 在BC 上，且∠EAF=45°，求证：点 E 为线段 BC 靠近 B 的三等分点． 【变式2】如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F 为CD 中点，点 E 在BC 上，点 E 为线段 BC 靠近 B 的三等分点，求证：∠EAF=45°． 【变式3】已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，M 是 AD 的中点，在CM 的右侧作∠MCN=45°交 BD 于点 N，求证：N是线段 BD 靠近 D 的三等分点． 【变式4】已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，M 是 AD 的中点，N 是线段 BD 靠近 D 的三等分点，求证：∠MCN=45°． 题型二 1 2 0 度夹 6 0 度 【例 3】已知如图，△ABC 为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N 分别是 AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN． 【练】如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F 分别在 AD、DC 延长线上，且∠EBF=60°，...
