线和椭圆的交点问题1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数m 的取值范围。解法一： 由可得，∴即∴且解法二： 直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则即当时，椭圆焦点在轴上， 长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即综述：且解法三： 直线恒过一定点 （0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点 （0,1）在椭圆内部，即∴且二、直线截椭圆所得弦长问题2．已知椭圆，直线交椭圆于 AB ，求 AB 的长 . 解法一： 设 A 、B 两点坐标分别为和将直线方程代入椭圆方程得关于的方程∴又。∴AB 长为。解 法 二 ： ∵ 直 线过 （ 1 ， 0 ） 点 ， 即 椭 圆 的 右 焦 点∴∴AB 长为。评注： 法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。三、直线截椭圆所得弦中点有关问题3．已知椭圆方程为，求：（1）中点为（ 4，1）的弦所在直线的方程；（2）斜率为 3 的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；（3）过点（ 4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。解析： 设直线与椭圆交点为，，则①②①－②得③（ 1）∵弦中点坐标为（4，1），∴，，则由③式得直线斜率为∴直线方程为，即。（ 2）设弦中点坐标为，则由③式可得④又∵∴，即轨迹方程为。（ 3）同（ 2），可知轨迹上的点是方程④的解而，∴⑤将⑤代入④可得当时，直线与椭圆相交于和,中点为（ 4， 0），经验证，也在上述椭圆上∴轨迹方程为。
