1 / 12 第八章矢量算法与场论初步· 张量算法与黎曼几何初步本章包括两个部分 . 第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理 (高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n 维空间中去 . 第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n 维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来 .可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的 .§1矢量算法一、 矢量代数［矢量概念］只有大小的量称为标量 (也称为数量或纯量 ).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量 . 2 / 12 具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量 ).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB 来表示矢量 .用长度 AB 表示大小，用端点的顺序 AB 表示方向 .A 称为始点，B 称为终点，这个矢量记作 AB ，或用黑正体字母a 表示.矢量的大小 (或长度 )的数值称为它的模或绝对值，用记号AB 或|a|表示. 矢量按其效能可分成三种基本类型：具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶 . 沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力 . 作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度 . 在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量. 模等于 1 的矢量称为单位矢量 . 模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量. 模与矢量 a 的模相等而方向相反的矢量称为a 的负矢量，记作 -a. 始点与原点 O 重合而终点位于一点M 的矢量 OM (图 8.1)称为点 M 的矢径 (或向径 )，记作r， 原点称为极点 .如果 M 的直角坐标为 x，y，z , 则有r...
