矩阵基本性质

矩阵 的第 ?第列的元素为。我们?或（ ）表?的单位矩阵。1. 矩阵的加减法（1）, 对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则a. 交换律：b. 结合律：c.d.2. 矩阵的数乘（1），各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则a. 数对矩阵的分配律：b. 矩阵对数的分配律：c. 结合律：d.3. 矩阵的乘法（1），左行右列对应元素相乘后求和为C 的第 行第 列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则a. 对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有b. 分配律：c. 结合律：d. 数乘结合律：4. 矩阵的转置,（1）矩阵的幂：,, ⋯,（2）矩阵乘法满足的运算法则a.b.c.d.5. 对称矩阵：即；反对称矩阵：即（1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。（2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。（3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。（4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且.（5）6. Hermite矩阵：即；反 Hermite 矩阵，即a.b.c.d.e.f.（当矩阵可逆时）7. 正交矩阵：若, 则是正交矩阵（1）（2）（3）,8. 酉矩阵：若, 则是酉矩阵（1）（2）（3）,（4）9. 正规矩阵：若, 则 是正规矩阵；若, 则 是实正规矩阵10. 矩阵的迹和行列式（1）为矩阵的迹；或为行列式（2）；注：矩阵乘法不满足交换律（3）（4）,为酉矩阵，则（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）,，则其中为奇异分解值的特征值11. 矩阵的伴随矩阵（1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵（2）12. 矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A的逆矩阵记作,;（2）（ 为非奇矩阵）时，（3）且，则（4）由，得（5）（6）若（7）若是非奇上（下）三角矩阵，则也上（下）三角矩阵（8）（9）（10）（11）Woodbury恒等式 :（12）12. 对角矩阵，矩阵为对称矩阵，正交矩阵，则为对角矩阵或，则;13. 矩阵的导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）