子空间的和与直和VIP专享

5.5 子空间的和与直和 授课题目： 子空间的和与直和. 教学目标： 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时 教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程： 一 子空间的的和 回忆: 令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V 的一个子空间. 一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。 1. 定义：设12,W WV，则称V 的子集121122/,WW 为1212wwWW与的和，记为 即12WW=121122/,WW 定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12WW仍然是子空间. 证明：12,WW12WW故12WW  对121212,, ,,a bFWW 有， 111222,,,WW  12WW均为v 子空间.  111222,abW abW 于是   1212112212ababababWW  12WW是V 的子空间。 推广：12,,,nW WWVn为 的个子空间，则 12121122/,,,nnnnWWWWWW 仍然是V 的子空间. 补充：若1W =Lr,,,21， 212,,,tWL   则12WW=Ltr,,,,,,,2121 证明：12WW，有 ，12,WW 设rrkkk2211 ttlll2211  rrkkk2211+tlll2211  12WW=Ltr,,,,,,,2121 定理5.5.2 维数定理。dim(12WW)=dim1212dimdimWWWW 证明: 设12dim()0,WWr 取12WW的一个基为12{ ,,,},r  因为12WW 同是12,W W 的子空间, 所以可以分别扩充成1W 与2W 的基 121{ ,,,,,,},rs   (2) 121{ ,,,,,,},rt   (3) 这里12dim,dim.WrsWrt 下面证明1211{ ,,,,,,,,,}rst    (4)是12WW的基. 显然, 12WW中每个向量都可以由(4)线性表示, 只需证明(4)线性无关. 设1122111 10,rrssttaaabbcc 则1122111 112.rrss...