平面几何竞赛讲座

平面几何中的著名定理 1．梅涅劳斯定理：若一条直线和△ABC 的三边BC、CA、AB 分别交于D、E、F，则AFFB·BDDC·CEEA=1。其逆定理也成立。 2．塞瓦定理：对于△ABC 所在平面内一点O，AO、BO、CO（或其延长线）交三角形另一边于点D、E、F，则AFFB·BDDC·CEEA=1。其逆定理也成立。 3．托勒密定理：圆内接四边形ABCD 的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积。其逆定理也成立。 4．西姆松定理：以△ABC 的外接圆上任意一点P 向BC、CA、AB 或它们的延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F 三点共线。其逆定理也成立。 5．斯特瓦德定理：设P 为△ABC 的BC 边上任一点，则有AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC。 例1 如图，⊙O1 和⊙O2 与△ABC 的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H 为切点，并且EG、FH 的延长线交于P 点。求证：直线PA 与BC 垂直。 例2 四边形ABCD 的内切圆分别切AB、BC、CD、DA于点E、F、G、H。求证：HE、DB、GF 三线共点。 例3 如图，锐角△ABC 中，AD 是BC 边上的高，H 是线段AD 内任一点，BH 和CH 的延长线分别交AC、AB 于E、F。求证：∠EDH=∠FDH。 PHGEO1FO2ABCACPBDFHEGEFDABCH例4 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD。在CD 上取一点 E，BE 与 AC 相交于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证：∠GAC=∠EAC。 例5 如图，设 C1 、C2 是同心圆，C2 的半径是 C1 的半径的 2倍。四边形A1 A2 A3 A4 内接于 C1 ，将 A4 A1 延长交圆 C2 于 B1，A1 A2 延长交圆 C2 于 B2 ，A2 A3 延长交圆 C2 于 B3 ，A3A4 延长交圆 C2 于 B4 。试证四边形B1 B2 B3 B4 的周长≥2×四边形A1 A2 A3A4的周长，并确定等号成立的条件。 例6 设 M、N 是△ABC 内部的两个点，且满足∠MAB=∠NAC，∠MBA=∠NBC。证明：AM·ANAB·AC+BM·BNBA·BC+CM·CNCA·CB=1 例7 如图所示，在直角△ABC 的斜边BC 上取一点 D，使△ABD 和△ACD 的内切圆相等。求证：S△ABC=AD2 。 EGABDCFC2C1B1B4B3B2OA1A2A3A4NBACMDABC例8 已知CE 是△ABC 的∠C 的平分线，且 CE2=AE·EB。求证：AE:AC=1: 2 。 例9 在△ABC 中，AC>BC，其外接圆直径 DE 垂直 AB 于 F，其中 C 和 E 在 AB 的同一侧，过 C 作 CL⊥DE 于 L。求证：(AC+BC)2=4DL·EF。 例10 自△ABC 的顶点 A 作∠B 的内、外角平分线 BE、BF的垂线，垂足为 E、F ，...