空间向量与立体几何立体几何中向量方法——平行与垂直关系向量证法VIP专享

1 / 10 §3.2立体几何中的向量方法(一) ——平行与垂直关系的向量证法知识点一求平面的法向量已知平面 α 经过三点 A(1,2,3) ，B(2,0，－ 1)，C(3，－ 2，0)，试求平面 α 的一个法向量．解 A(1,2,3) ，B(2,0 ，－ 1)，C(3，－ 2,0)，AB ＝(1，－ 2，－ 4)，AC→ ＝(1，－ 2，－ 4)，设平面 α 的法向量为n＝(x，y，z)．依题意，应有n· AB = 0， n·AC→= 0.即x－2y－4z＝02x－4y－3z＝0，解得x＝2yz＝0.令 y＝1，则 x＝2. ∴平面 α 的一个法向量为n＝(2,1,0)．【反思感悟】用待定系数法求平面的法向量， 关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量 )即可．在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中， E，F 分别是 BB 1，DC 的中点，求证：AE是平面 A 1D 1F 的法向量 .证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则AE 是平面A1D 1F的法向量．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0) ， E 1，1，12 ，2 / 10 AE ＝ 0，1，12 . .D 1＝(0,0,1)，F 0，12，0 ，A 1(1,0,1)．1D F ＝ 0，12，－ 1 ，A 1D1→ ＝(－1,0,0)． AE ·1D F ＝ 0，1，12 · 0，12，－ 1 ＝12－ 12＝0，AE ·A 1D 1→ ＝0，∴ AE ⊥A 1D 1→ .又 A 1D 1∩D1F＝ D1，∴AE⊥平面 A 1D1F，∴AE 是平面 A 1D 1F 的法向量．知识点二利用向量方法证平行关系在正方体 ABCD — A 1B 1C1D 1 中，O 是 B 1D 1的中点，求证： B 1C∥平面 ODC 1. 证明 方法一 1B C =1A D ，∴ B 1A D∴B1C∥A 1D，又 A 1D面 ODC 1，∴B1C∥面 ODC 1.方法二 1B C=11B C+1B B=1B O +1OC+1D O +OD=1OC+OD .∴1B C ，1OC ，OD 共面 .又 B1CODC 1，∴ B 1C∥面 ODC 1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O12， 12，1 ， C1(0,1,1)，1B C ＝(－1,0，－ 1)，3 / 10 OD ＝ －12，－ 12，－ 1 ，1OC ＝ －12， 12，0 . 设平面 ODC 1的法向量为n＝(x 0， y0，z0)，则10,0,nODnOC得－12x0－12y0－z0＝0①－12x0＋12y0＝0 ②令 x 0＝1，得 y 0＝1，z0＝－ 1，∴n＝(1,1，－ 1)．又1B C ·n＝－ 1×1＋ 0×1＋(－ 1)× (－1)＝0，∴1B C ⊥n，∴B 1C∥平面 ODC 1. 【反思感悟】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在...