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空间向量与立体几何立体几何中向量方法——平行与垂直关系向量证法

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1 / 10 §3.2立体几何中的向量方法(一) ——平行与垂直关系的向量证法知识点一求平面的法向量已知平面 α 经过三点 A(1,2,3) ,B(2,0,- 1),C(3,- 2,0),试求平面 α 的一个法向量.解 A(1,2,3) ,B(2,0 ,- 1),C(3,- 2,0),AB =(1,- 2,- 4),AC→ =(1,- 2,- 4),设平面 α 的法向量为n=(x,y,z).依题意,应有n· AB = 0, n·AC→= 0.即x-2y-4z=02x-4y-3z=0,解得x=2yz=0.令 y=1,则 x=2. ∴平面 α 的一个法向量为n=(2,1,0).【反思感悟】用待定系数法求平面的法向量, 关键是在平面内找两个不共线向量,列出方程组,取其中一组解(非零向量 )即可.在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中, E,F 分别是 BB 1,DC 的中点,求证:AE是平面 A 1D 1F 的法向量 .证明 设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则AE 是平面A1D 1F的法向量.证明设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0) , E 1,1,12 ,2 / 10 AE = 0,1,12 . .D 1=(0,0,1),F 0,12,0 ,A 1(1,0,1).1D F = 0,12,- 1 ,A 1D1→ =(-1,0,0). AE ·1D F = 0,1,12 · 0,12,- 1 =12- 12=0,AE ·A 1D 1→ =0,∴ AE ⊥A 1D 1→ .又 A 1D 1∩D1F= D1,∴AE⊥平面 A 1D1F,∴AE 是平面 A 1D 1F 的法向量.知识点二利用向量方法证平行关系在正方体 ABCD — A 1B 1C1D 1 中,O 是 B 1D 1的中点,求证: B 1C∥平面 ODC 1. 证明 方法一 1B C =1A D ,∴ B 1A D∴B1C∥A 1D,又 A 1D面 ODC 1,∴B1C∥面 ODC 1.方法二 1B C=11B C+1B B=1B O +1OC+1D O +OD=1OC+OD .∴1B C ,1OC ,OD 共面 .又 B1CODC 1,∴ B 1C∥面 ODC 1.方法三建系如图,设正方体的棱长为1,则可得B1(1,1,1),C(0,1,0),O12, 12,1 , C1(0,1,1),1B C =(-1,0,- 1),3 / 10 OD = -12,- 12,- 1 ,1OC = -12, 12,0 . 设平面 ODC 1的法向量为n=(x 0, y0,z0),则10,0,nODnOC得-12x0-12y0-z0=0①-12x0+12y0=0 ②令 x 0=1,得 y 0=1,z0=- 1,∴n=(1,1,- 1).又1B C ·n=- 1×1+ 0×1+(- 1)× (-1)=0,∴1B C ⊥n,∴B 1C∥平面 ODC 1. 【反思感悟】证明线面平行问题,可以有三个途径,一是在...

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