空间向量及几何公式

空间向量及几何公式118. 共面向量定理向量 p 与两个不共线的向量a、b 共面的存在实数对,x y , 使 paxby ．推论空间一点 P 位于平面 MAB内的存在有序实数对,x y , 使 MPxMAyMBuuuruuuruuur，或对空间任一定点O，有序实数对,x y，使 OPOMxMAyMBuuuruuuuruuuruuur.119. 对 空间 任一 点 O 和 不共 线的 三点A、 B、 C，满 足 OPxOAyOBzOCuuuruuuruuuruuur（ xyzk ），则当1k时，对于空间任一点O ，总有 P、A、B、C四点共面；当1k时，若 O平面 ABC，则 P、A、B、C四点共面；若 O平面 ABC，则 P、A、B、C四点不共面． CAB、 、 、D 四点共面ADuuur与 ABuuur、 ACuuur共面ADxAByACuuuruuuruuur(1)ODxy OAxOByOCuuuruuuruuuruuur（ O平面 ABC）.120. 空间向量基本定理如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc ．推论设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使 OPxOAyOBzOCuuuruuuruuuruuur.121. 射影公式已知向量 ABuuur=a 和轴 l ，e 是 l 上与 l 同方向的单位向量. 作 A 点在 l 上的射影'A ，作 B点在 l 上的射影'B ，则''|| cosA BABuuur〈a，e〉=a·e122. 向量的直角坐标运算设 a＝123(,,)a aa，b＝123(,,)b b b则(1) a＋b＝112233(,,)ab abab；(2) a－b＝112233(,,)ab abab；(3) λ a＝123(,,)aaa ( λ ∈ R)；(4) a· b＝1 12233a ba ba b ；123. 设 A111(,,)x y z，B222(,,)xyz，则ABOBOAuuuruuuruuur= 212121(,,)xx yy zz.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)ax y zr，222(,,)bxy zr，则a brrP(0)ab brr rr121212xxyyzz；abrr0a br r1212120x xy yz z.125. 夹角公式设 a＝123(,,)a aa，b＝123(,,)b b b，则cos〈a，b〉=1 1223 3222222123123aba ba baaabbb.推论22222221 12233123123()()()a ba ba baaabbb，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为, 则2222|()() |cos2ABCDBCDAAC BD.127．异面直线所成角cos| cos,|a br r=121212222222111222|||||| ||x xy yz za babxyzxyzr rrr（其中（ 090oo ）为异面直线 a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）128. 直线 AB 与平面所成角sin||||AB marcABmuuur ur...