学习好资料欢迎下载空间向量解几何问题的几类常见题型河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组（472200）赵建文空间向量是高中数学中的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面垂直与平行及其夹角的重要工具，是高考考查的重要内容之一.本文将空间向量解几何问题的几类常见题型作以解析，供同学们学习时参考. 一、 利用空间向量证明空间垂直问题例 1 在直二面角D— AB — E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， AE=EB ，F 为 CE 上的点，且BF⊥平面 ACE. （Ⅰ）求证： AE⊥平面 BCE；（Ⅱ）求证：平面BDF ⊥平面 ABCD. 分析 ：本题坐标系易建立，用向量法. 证明： ABCD为正方形，∴BC ⊥AB ， 二面角D— AB — E为直二面角，∴BC⊥面 AEB ，以线段 AB 的中点为原点O，OE 所在直线为x 轴， AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于AD 的直线为 z 轴，如图建立空间直角坐标系 O— xyz，则 A(0 ，－ 1，0)，B(0,1,0) ，C(0,1,2)，D(0, －1,2), 设 E(0x ，0,0) （0x ＞0）， F 为 CE 上的点， EC =( －0x ,1,2), ∴设 EF =EC =(0x ,， 2) ，∴F（0(1) x ，， 2），∴ BF =(0(1)x ,1, 2), AC =(0,2,2),AE =( 0x ,1,0), BF⊥平面 ACE，∴ BFAC = 2(1)4=0 且 BFAE =20(1)1x=0, 解得，0x =1，=13， ∴E（1,0,0 ）， F( 23， 13， 23) ，（Ⅰ） AE =（1,1,0 ）， BE =（－ 1,1 ，0）,∴ AEBE =0, ∴AE⊥BE, BC⊥面 AEB, ∴BC⊥AE, ∴AE ⊥平面 BCE; （Ⅱ）面 ABCD 的法向量为 OE =（1，0,0），设面 BFD 的法向量为 m =（ x ， y ， z ），BF =( 23, － 23, 23), BD =（0，－ 2， 2），∴BFm= 222333xyz=0 且BDm=22yz =0，取 z =1，则 y =1， x =0，∴ m =(0，1，1)，∴OEm=0，∴平面 BDF ⊥平面 ABCD 【点评】 对坐标系易建立的空间垂直判定（证明）问题，常用向量法，对线面垂直问题，通过证明所证直线的方向向量的数量积为0 来证；对线面垂直问题， 先求出平面的法向量和直线的方向向量， 证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理证明；对面面垂直问题， 先求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，来证面面垂直. 二、 利用空间向量处理空间平行关系学习好资料欢迎下载例 2 在三棱柱111...
