1 / 4 空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下baABOAOB;baOBOABA;)(RaOP运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：)()(cbacba⑶数乘分配律：baba)(3．平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a 到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－DCBA它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ ，使 b ＝λ a . 要注意其中对向量a 的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． a 平行于 b 记作ba //．当我们说向量a 、 b 共线（或 a // b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理： 空间任意两个向量a 、b（ b ≠ 0 ），a // b 的充要条件是存在实数λ，使 a ＝λb . 推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t 满足等式tOAOPa ．其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 . 空间直线的向量参数表示式：tOAOPa 或)(OAOBtOAOPOBtOAt)1(，中点公式．)(21OBOAOP7．向量与平面平行：已知平面和向量 a ，作 OAa ，如果直线 OA 平行于或在内，那么我们说向量a 平行于平面，记作：//a．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使 pxayb推论： 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使 MPxMAyMB①或对空间任一点O ，有 OPOMxMAyMB ②或,(1)OPxOAyOBzOMxyz③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式aC'B'A'D'DABCA'pbaOPABM2 / 4 ykiA(x,y,z)Ojxz9 空间向量基本定理：如果三个向量, ,a b c 不共...
