立体几何中存在性问题

- 1 - / 8 高中数学立体几何存在性问题专题1. （天津理 17） 如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且（Ⅰ）求异面直线AC与 A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分 13 分. 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点 . 依题意得（I ）解：易得，于是所以异面直线AC与 A1B1所成角的余弦值为（II ）解：易知设平面 AA1C1的法向量，则即不妨令可得，同样地，设平面A1B1C1的法向量，111ABCA B CH11AA B B12 2AA1C H11AA B B15.C H111AACBN11B CM11AA B BMN11A B CBM(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)ABC111(2 2,22,0),(0,22,0),( 2,2,5)ABC11(2,2,5),( 2 2,0,0)ACAB11111142cos,,3|| ||3 2 2AC A BAC A BACA B2 .3111(0,22,0),(2,2,5).AAAC( , , )mx y z11100m ACm AA2250,2 20.xyzy5,x( 5,0,2)m( , , )nx y z- 2 - / 8 则即不妨令，可得于是从而所以二面角A— A1C1— B的正弦值为（III）解：由 N为棱 B1C1的中点，得设 M（ a，b，0），则由平面 A1B1C1，得即解得故因此，所以线段BM的长为方法二：（I ）解：由于AC//A1C1，故是异面直线AC与 A1B1所成的角 . 因为平面 AA1B1B，又 H为正方形 AA1B1B的中心，可得11110,0.n ACn A B2250,2 20.xyzx5y(0,5,2).n22cos,,|| ||777m nm nmn3 5sin,.7m n3 5 .72 3 25(,,).222N23 25(,,)222MNabMN11110,0.MNA BMNAC2() ( 2 2)0,223 25() (2)() (2)50.222aab2 ,22 .4ab22(,,0).24M22(,,0)24BM10||.4BM111C A B1C H112 2,5,AAC H11113.ACB C- 3 - / 8 因此所以异面直线AC与 A1B1 所成角的余弦值为（II ）解：连接AC1，易知 AC1=B1C1，又由于 AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以≌，过点 A 作于点 R，连接 B1R，于是，故为二面角 A— A1C1— B1 的平面角 . 在中，连接 AB1，在中，，从而所以二面角A— A1C1— B1 的正弦值为（III）解：因为平面 A1B1C1，所以取 HB1中点 D，连接 ND，由于 N是棱 B1C1中点，所以 ND//C1H 且. 又平面 AA1B1B，所以平面 AA1B1B，故又所以平面 MND，连接 MD并延长交 A1B1 于点 E，则由得，延长 EM交...