竞赛中含绝对值的问题

1 竞赛中含绝对值的问题绝对值是初中代数中的一个基本概念，在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要注意知识的创新运用，掌握好方法，顺利解决这些问题．一、直接推理法例 1：已知0,baba， ababab 则等于（）（第八届“希望杯”初一试题）（A）abba22.（B）ab .（C）abba22.（D）aba2. 解：因为0ba，所以ba, 同号.又因为ba，即0ba，所以ba, 必须同为负. 所以abaabbabaabbaba2. 答案为 D. 说明 : 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号. 二、巧用数轴法例2: 设 有 理 数cba,,在 数 轴 上 的 对 应 点 如 图1-1 所 示 ， 化 简bccaab.（2005 年上海市七年级数学竞赛预赛卷）解: 由图可知，0,0,0cba，且0bac. 所以0,0,0bccaab．可得cbbccacaabab,,．所以原式=ccbcabacbcaba2 . 2 说明 :本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序，从而达到去掉绝对值的目的. 三、零点分段法例 3:已知40a，那么aa32的最大值等于（）（A）1.（B）5.（C）8.（D）3. （第十届“希望杯”初一试题）解：(1)当20a时，aaaaa253232aaaaa253232，在这一段内，当0a时aa32取得最大值，最大值是5; (2)当32a时，13232aaaa; (3)当43a时，523232aaaaa，在这一段内，当4a时aa32取得最大值，最大值是3; 综上可知，当40a时，aa32的最大值是 5. 答案为 B. 说明 :本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号． 若分别去掉每个绝对值符号， 则是很容易的事．解这类题目， 可先求出使各个绝对值等于零的字母的值，这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点. 四、分类讨论法例 4:如果dcba,,,为互不相等的有理数，且1bdcbca，那么da等于（）（山东省第二届“灵通杯”七年级数学竞赛题）（A）1.（B）2.（C）3.（D）4. 解:已知cb，可设cb，由于cbca，所以ca与cb必互为相反3 数(否则ba，不合题意 )，即cbacbca2,.又因为cb，所以ca. 由于bdcb，所以cb与bd必相等 (否则dc，不合题意 )，即bdcb，从而得dcb2.因为cb，所以db. 因此有acbd. 所以3111dbbccadada. 若设cb，同理可得3da.答案为 C. 说明 :本例的解法是采取把b，c 分为cb和cb两种情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为ba和ba两种情况进行讨论，同学们不妨试一试.