简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动 :如果做机械振动的物体,其位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数规律,这样的振动叫做简谐振动。位移 :用 x 表示, 指振动物体 相对于平衡位置的位置变化,由简谐振动定义可以得出x 的一般式:)cos( tAx(下文会逐步解释各个物理符号的定义);振幅 :用 A 表示,指物体相对平衡位置的最大位移;全振动 :从任一时刻起,物体的运动状态(位置、速度、加速度),再次恢复到与该时刻完全相同所经历的过程;频率 :在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率,用f 表示;周期 :物体完成一次全振动所用的时间,用T 表示;角频率 :用表示,频率的2π 倍叫角频率,角频率也是描述物体振动快慢的物理量。角频率、周期、频率三者的关系为:=2π/T=2πf;相位 :t表示相位,相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节,相位的变化率就是角频率,即dtd;初相 :位移一般式中表示初相,即t=0 时的相位,描述简谐振动的初始状态;回复力 :使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。(因此回复力同向心力是一种效果力)如果用 F 表示物体受到的回复力,用 x 表示小球对于平衡位置的位移,对 x 求二阶导即得:)cos(2tAa又因为 F=ma ,最后可以得出F 与 x 关系式:kxxmF2由此可见,回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。式中的 k 是振动系统的回复力系数(只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数) ,负号的意思是:回复力的方向总跟物体位移的方向相反。简谐振动周期公式:kmT2,该公式为简谐振动普适公式,式中k 是振动系统的回复力系数,切记与弹簧劲度系数无关。单摆周期公式 :首先必须明确只有在偏角不太大的情况(一般认为小于10°)下,单摆的运动可以近似地视为简谐振动。我们设偏角为,单摆位移为x,摆长为 L,当很小时,有关系式:Lxtansin,而单摆运动的回复力为F=mgsin,那么单摆运动中回复力系数Lmgk,代入简谐振动周期普适公式可得:gLT2简谐振动周期公式推导与证明:(1)求导法:对 x 求二阶导,得:)cos(2tAa,由 F=ma= -kx 得:mk ,kmT22。(2)等效替代I:做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动。这是研究简谐振动的一个重要结论。下面给出证明:如图,设物体做匀速圆周运动,线速度为v,半径为r,角速度为,以圆心为坐标原点建立坐标系,设初始位置与圆心连线和x 轴夹角为,经过的时间为 t,则该物体在x 轴上投...