线面角的求法总结

线面角的三种求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段， 垂线段， 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例 1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直， ∠SBA=45° ,∠SBC=60° , M为 AB的中点，求（ 1）BC与平面 SAB所成的角。（2）SC与平面 ABC所成的角。解: （1） SC⊥SB,SC⊥SA, 图 1∴SC⊥平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB上的射影，∴∠ SBC是直线 BC与平面 SAB所成的角为60° 。（2） 连结 SM,CM，则 SM⊥AB,又 SC⊥AB,∴AB⊥平面 SCM,∴面 ABC⊥面 SCM过 S作 SH⊥CM于 H, 则 SH⊥平面 ABC∴CH即为 SC 在面 ABC内的射影。∠SCH 为SC与平面 ABC所成的角。sin ∠SCH=SH／SC∴SC与平面 ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线 . 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理， 其思路是： 先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。 ）2. 利用公式 sin θ =h／ι其中θ 是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长， ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例 2 （ 如图 2）长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB与面 AB1C1D 所成的角。解：设点 B 到 AB1C1D的距离为 h, VB﹣ AB1C1=VA﹣BB1C1∴ 1／3 S△AB1C1· h= 1 ／ 3 S △BB1 C1· AB，易得 h=12／5 设 AB 与 面 A B1C1D 所成的角为 θ , 则sin θ =h／ AB=4／5 图2∴AB与面 AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cosθ =cos θ1· cosθ2（如图 3） 若 OA为平面的一条斜线，O为斜足， OB为OA在面 α 内的射影， OC为面α 内的一条直线，其中θ 为OA与OC所成的角，图3θ1为OA与OB所成的角， 即线面角， θ2为OB与OC所成的角， 那么 cos θ =cosθ1· cosθ2 （同学们可自己证明） ，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例 3（如图 4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60° ,，求直线OA 与 面 OBC所成的角的余弦值。解： ∠ AOB=∠ AOC...