组合数学试题集

组合数学试题集一.简单题目可以根据需要改成选择题或者填空题1．在 1 到 9999 之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（参见课本21 页）解：该题相当于从“ 1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4 作排列的方案数；（1）选 1 个，即构成 1 位数，共有15P 个；（2）选 2 个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选 3 个，即构成 3 位数，共有35P 个；（4）选 4 个，即构成 4 位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205PPPP个。2．一教室有两排，每排8 个座位，今有14 名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（参见课本21 页）（1）规定某 5 人总坐在前排，某4 人总坐在后排，但每人具体座位不指定；（2）要求前排至少坐5 人，后排至少坐4 人。解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。5 人坐前排，其坐法数为(8,5)P，4 人坐后排，其坐法数为(8,4)P，剩下的 5 个人在其余座位的就坐方式有(7,5)P种，根据乘法原理，就座方式总共有：(8,5)(8,4)(7,5)28 449 792 000PPPgg（种）（2）因前排至少需坐 6 人，最多坐 8 人，后排也是如此。可分成三种情况分别讨论：① 前排恰好坐 6 人，入座方式有(14,6)(8,6)(8,8)CPP；② 前排恰好坐 7 人，入座方式有(14,7)(8,7)(8,7)CPP；③ 前排恰好坐 8 人，入座方式有(14,8)(8,8)(8,6)CPP；各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为：(14,6)(8,6)(8,8)(14,7)(8,7)(8,7)(14,8)(8,8)(8,6)10 461394 944 000CPPCPPCPP3．一位学者要在一周内安排50 个小时的工作时间， 而且每天至少工作5 小时，问共有多少种安排方案？（参见课本21 页）解：用ix 表示第 i 天的工作时间，1,2,,7iL，则问题转化为求不定方程123456750xxxxxxx的整数解的组数，且5ix，于是又可以转化为求不定方程123456715yyyyyyy的整数解的组数。该问题等价于：将 15 个没有区别的球，放入 7 个不同的盒子中，每盒球数不限，即相异元素允许重复的组合问题。故安排方案共有：(,15)(1571,15)54 264RCC（种）另解：因为允许0iy，所以问题转化为长度为1 的 15 条线段中间有 14 个空，再加上前后两个空，共 16 个空，在这 16 个空中放入 6 个“＋”号，每个空放置的“＋”号数不限，未放“＋”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共有：21 2019 18 1716(,6)(1661,6)54 264654...