维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件( 自然条件，连接条件) ，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I ．质点力学：牛顿第二定律Fmrrr&&连续体力学2222()( , )( , )0(()0;v1()0 (Euler eq.).u r tau r ttvtvvpftrrrrrrrr&弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程 );膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程：II.麦克斯韦方程;;00;().,, ,DDElBsEBBBHljDsHjDEu BA u Arrrrrrrrr&&rrrrrrrrrrr&&rrrr已已ddddddd满足波动方程。Lorenz力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。III. 热力学统计物理220;0.TkTtDt热传导方程：扩散方程：特别 : 稳态（0t）:20 (Laplace equation).IV. 量子力学的薛定谔方程：22.2uiuVutmhh2. 分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程222210uuat双曲线输运方程20ukut能量：热传导质量：扩散抛物线稳态方程Laplace equation20u椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”--- “无理取闹” （物理趣乐） 。（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略--- 线性化。（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解第一节一维波动方程 - 弦振动方程的建立弦横振动方程的建立（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）（1）定变量： 取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(txu，从而速度为tu ，加速度为ttu .（ 2 ）立假设：①弦振动是微小的，1 ，因此，sintan，1cos，又tanuxQ，1xu；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力),(txT始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连) ；③所有外力都垂直于x 轴，外力线密度为),(txF；④设弦的线密度（细长）为),(tx，重力不计。（3）取局部：在点x 处取弦段 dx , dx 是如此之小...