养老保险模型华怡菁33徐文洁32刘雪飞31一.问题提出据统计女性平均寿命81岁，男性平均寿命76岁，通常结婚男性比女性大3岁，（81-76+3=8）。妇女平均要守寡8年！是谁更需要养老保险呢？养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，某女子若25岁起投（则共缴费200元*35年*12月=84000元），届时养老金每月2282元；若35岁起保（200*25*12=60000元)，届时月养老金1056元；若45岁起保（200*15*12=36000元），届时月养老金420元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。二.模型建立模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为缴费是按月进行的。假设:____Fk投保人到第k月止所缴保费及收益(利息）的累计总额。r___每月收益率（所交保险金获得利率）p___表示60岁之前每月所缴保险费数目，q___表示60岁之后每月领取养老金数目，N___表示自投保起至停缴保险费的月份，M___表示至停领养老金时间（单位：月）在整个过程中，离散变量Fk的变化规律满足：在这里，我们关心的是，在第M个月时，FM是否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量Fk，很好地刻画了整个过程中资金的变化关系，特别是引入收益率r，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。{Fk+1=Fk(1+r)+p,k=0,1,⋯,NFk+1=Fk(1+r)−q,k=N+1,⋯,M三.模型计算以25岁起保为例。假设男性平均寿命为76岁，则有:•p=200,q=2282,N=35(年)=420(月),•M=51(年)=612(月)，•初始值为F0=0，我们可以如同差分方程的计算,得到：F1=F0(1+r)+pF2=F1(1+r)+p=F0(1+r)2+p(1+r)+pF3=F2(1+r)+p=F0(1+r)3+p(1+r)2+p(1+r)+p……Fk=F0(1+r)k+p[(1+r)k-1+(1+r)k-2+…+1]故有：在上面两式中，分别取K=N和K=M并利用FM=0，消去FN可以求出：令x=1+r,取M=612,N=420,p=200,q=2282,则只需求解方程：x612−12.41x192+11.41=0=F0(1+r)k+pr[(1+r)k−1]同理：Fk=FN(1+r)k−N−qr[(1+r)k−N−1]故有：{Fk=F0(1+r)k+pr[(1+r)k−1]Fk=FN(1+r)k−N−qr[(1+r)k−N−1]{Fk=F0(1+r)k+pr[(1+r)k−1]Fk=FN(1+r)k−N−qr[(1+r)k−N−1]FN(1+r)M−N=qr[(1+r)M−N−1]r⋅FN(1+r)M−N=q⋅[(1+r)M−N−1]∴(1+r)M−(1+qp)(1+r)M−N+qp=0利用数学MATLAB软件可以轻松求出方程根？Symsx%syms表示构造符号,变量F=x^612-12.41*x^192+11.41;x=solve(F)%solve表示求方程的根x=-11i-i-1/2+1/2*i*3^(1/2)-1/2-1/2*i*3^(1/2)1/2+1/2*i*3^(1/2)1/2-1/2*i*3^(1/2)-1/2*(2+2*i*3^(1/2))^(1/2)1/2*(2+2*i*3^(1/2))^(1/2)-1/2*(2-2*i*3^(1/2))^(1/2)1/2*(2-2*i*3^(1/2))^(1/2)1.0049633039668825034907556078643-1.00496330396688250349075560786431.0049633039668825034907556078643*i-1.0049633039668825034907556078643*i.87032375110646297295021203295048+.50248165198344125174537780393214*i-.87032375110646297295021203295048-.50248165198344125174537780393214*i.50248165198344125174537780393214-.87032375110646297295021203295047*i-.50248165198344125174537780393214+.87032375110646297295021203295047*i我们要求的根显然大于1，对于在复数域内的几百个根的合理性进行分析，可以得出：x=1.004963即r=0.004963同样的方法可以求出35岁起保：P=200,q=1056,N=25(年)=300(月)，M=41(年)=492(月)，x492−6.28x192+5.28=0x=-11i-i-1/2+1/2*i*3^(1/2)-1/2-1/2*i*3^(1/2)1/2+1/2*i*3^(1/2)1/2-1/2*i*3^(1/2)-1/2*(2+2*i*3^(1/2))^(1/2)1...
