数值分析习题与答案

第一章 绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求 f(x)=ln x 的误差限。 解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式(1.2.4)有 已 知x* 的相对误差满 足， 而，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有 5 位有效数字，其误差限，相对误差限 有 2 位有效数字， 有 5 位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用 ： 式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章 插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54 的近似值并估计误差限. 解： 仍可使用n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newton 插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5 及 0.6 两点，用Newton 插值 误差限，因，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7 三点，作二次Newton 插值 误 差 限，故 2. 在-4≤x≤4 上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求 的近似值，要使误差不超过，函数表的步长 h应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对 称 性可知当有 而当 P＝n＋1 时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知 的函数表 求出三次 Newton 均差插值多项式，计算 f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当 n=3 时得 Newton 均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7. 给定 f(x)=cosx 的函数表 用Newton 等距插值公式计算cos 0.048 及cos 0.566 的近似值并估计误差 解：先构造差分表 计算，用n=4 得Newton 前插公式 误差估计由公式（5.17）得 其中 计算时用Newton后插公式（5.18) 误差估计由公式（5.19）得 这里仍为0.565 8． 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足 解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足 ，显然，再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 ...