习题 1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下： 注意到 我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程 便可求得 [注意] 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法： 算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法） 2 ２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。 [解] 因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤： （1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下： 算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为） （2）计算上三角矩阵。运算量大约为. （3）用回代法求解方程组：.运算量为； （4）用回代法求解方程组：运算量为。 算法总运算量大约为： ３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。 3 [解] 按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵 是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上 注意到，则显然有从而有 ４．确定一个Gauss变换L，使 [解] 比较比较向量 和 可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量 的第二行加上第一行的2倍；使向量 的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下 ５．证明：如果 有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。 [证明] 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为 A非奇异的，于是 注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。 4 因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即， 从而 即 A的 LU分解是唯一的。 ６．设的定义如下 证明 A有满足的三角分解。 [证明] 令 是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下 容易验证： ７．设 A对称且，并假定经过一步 Gauss消去之后，A具有如下形式 5 证明仍是对称阵。 [证明] 根据 Gauss变换的属性，显然做矩阵A的 LU分解的第一步中的 Gauss变换为 其中，将 A分块为 那么 即 由 A的对称性，对称性则是显而易见的。 ８．设是严格对角占优阵，即 A满足 又设经过一步 Gauss消去后，A具有如下形式 6...
