数列求和 一、常用公式法 直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有： 等差数列求和公式: 等比数列求和公式: 二、错位相减法 可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列. 例 1：求和： . 设 ，其中 为等差数列， 为等比数列，公比为 ，利用错位相减法求和. 解： ， 两端同乘以 ，得 ， 两式相减得 于是 . 说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 三、裂项相消法 适用于 其中{ }是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等 例 2 求数列{1/(＋)}的前 n 项和 解： 1/(＋)＝－ (n＋1－n＝1) 分母有理化 ∴1/(＋)＋1/(＋)＋…＋1/(－) ＝－1＋－＋…＋－ ＝－1 说明：对于分母是两二次根式的和，且被开方数是等差数列， 利用乘法公式，使分母上的和变成了分子上的差，从 而Sn 又因中间项相消而可求。 四、分组转化法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和． 例3 已知集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，n∈N 且a＜2000}，求A 中元素的个数，以及这些元素的和 解： 由 210＝1024，211＝2048 知 210＋9×10－4＜2000 211＋9×10－4＞2000 ∴ A 中有10 个元素,记这些元素的和为S10，则 (首项为9，公差为9 的等差数列) S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10 (首项为2，公比为2 的等比数列) ＝2(210－1)＋99×5－40＝2501 说明：本题中A 是一个集合，集合中的元素是不可重复的， 也是没有顺序，所以集合与数列是不同的，但在 求和时与 10 个元素的顺序无关，所以可借用数列 的方法求和。 五、配对求和法 对一些特殊的数列，若将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对求和，然后再求Ｓｎ． 例4, 设数列的首项为，前项和满足关系式： （1 ）求证：数列是等比数列。 （2 ）设数列的公比为，作数列使，求。 （3 ）对（2 ）中的数列求和：。 （1 9 9 7 年上海高考试题） 解: 1）略；（2），（提示：） （3） （提示：配对求和 ） 六、数学归纳法 第一数学归纳法：（1）已知命题)1(P成立； （2）若命题)1()(kPkP成立，则 成立； 由（1）（2）可知命题)(nP都成立。 简单实例：证...
