数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案

1 数列的综合应用 【考纲说明】 1．会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和； 2．能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题； 3 .理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型； 【知识梳理】 考点一：通项公式的求解技巧 1. 归纳、猜想数列的通项. 2. 迭代法求一阶递推式的通项公式. 3. 用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式. 4. 已知数列{an}前 n 项和 Sn，则11nnnSSSa21nn. 5. 已知 an-an-1=f(n)(n2),则可用叠加法求 an. 6. 已知 anan-1=f(n)(n2),则可用叠乘法求 an. 7. 已知数列{an}前 n 项之积 Tn，一般可求 Tn-1，则 an=11 1 n2nnTnTT. 8. 已知混合型递推式f(an,Sn)=0,可利用an=Sn-Sn-1(n2)将关系式转化为只含有 an或 Sn的递推式,再求 an或先间接求出 Sn再求出 an. 9. 已知数列{an}的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(an)}为等差或等比数列. 例如:形如 an+1=Aan+f(n)或 an+1=Aan+qn,均可以两边同时除以 An+1后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如 an＝ an-1kan-1+b的递推数列可以两边同时倒数来求通项. 考点二：数列求和的技巧 一、公式法 1、等差数列的前n 项和公式 2 2)1(2)(11dnnnaaanSnn 2、等比数列的前n 项和公式 )1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 3、常用几个数列的求和公式 （1）)1(213211 nnnkSnkn （2）)12)(1(61321222212 nnnnkSnkn （3）2333313)]1(21[321 nnnkSnkn 二、错位相减法 用于求数列}{nnba 的前 n 项和，其中}{na，}{nb分别是等差数列和等比数列。 三、裂项相消法 适用于{ 1anan+1}其中{an}是各项不为 0 的等差数列。即: 1anan+1=1d(1an- 1an+1), 特别:111)1(1nnnn;)211(21)2(1nnnn. nnnnan111 四、倒序相加法 推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它 与原数列相加，就可以得到 n 个)(1naa 。 五、分组求和法 有一类数列，既不是等...