数列证明题型总结附答案VIP专享

1 / 18 一、解答题 ： 1．在数列{ }an 中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. (Ⅰ)设 bn＝an2n－1，证明：数列{ }bn 是等差数列； (Ⅱ)求数列{ }an 的前 n 项的和 Sn. 【答案】 (Ⅰ)因为 bn＋1－bn＝an＋12n － an2n－1＝an＋1－2an2n＝2n2n＝1 所以数列{bn}为等差数列 (Ⅱ)因为 bn＝b1＋(n－1)×1＝n 所以 an＝n·2n－1 所以 Sn＝1×20＋2×21＋…＋n×2n－1 2Sn＝1×21＋2×22＋…＋n×2n 两式相减得 Sn＝(n－1)·2n＋1 2．在数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋12n＋1. (Ⅰ)设 bn＝2nan，证明：数列{bn}是等差数列； (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【答案】 (Ⅰ)由 an＋1＝12an＋12n＋1， 得 2n＋1an＋1＝2nan＋1 bn＋1＝bn＋1， 则{bn}是首项 b1＝1，公差为 1 的等差数列． 故 bn＝n，an＝n2n. (Ⅱ)Sn＝1×12＋2× 122＋3× 123＋…＋(n－1)× 12n－1＋n× 12n 12Sn＝1× 122＋2× 123＋3× 124＋…＋(n－1)× 12n＋n× 12n＋1 两式相减，得： 12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－ n2n＋1 ＝12（1－12n）1－12－ n2n＋1＝1－ 12n－ n2n＋1 2 / 18 Sn＝2－12n－1－n2n 3．数列{an}的各项均为正数，前n 项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2(n∈N *)． (Ⅰ)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项公式 an； (Ⅱ)设 bn＝an＋2an(n∈N *)，求数列{bn}的前n 项和Tn. 【答案】 (Ⅰ)n＝1 时，4a1＝(a1＋1)2⇒a21－2a1＋1＝0，即 a1＝1 n≥2 时，4an＝4Sn－4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝a2n－a2n－1＋2an－2an－1 ⇒a2n－a2n－1－2an－2an－1＝0 ⇒(an＋an－1)[(an－an－1)－2]＝0 an>0 ∴an－an－1＝2 故数列{an}是首项为a1＝1，公差为d＝2 的等差数列，且an＝2n－1(n∈N *) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn＝an＋2an＝(2n－1)＋22n－1 ∴Tn＝b1＋b2＋… ＋bn ＝(1＋21)＋(3＋23)＋… ＋[(2n－1)＋22n－1] ＝[1＋3＋… ＋(2n－1)]＋(21＋23＋… ＋22n－1) ＝n2＋2（1－22n）1－4＝22n＋13 ＋n2－23＝22n＋1＋3n2－23 4．数列{an}的各项均为正数，前n 项和为Sn，且满足2 Sn＝an＋1(n∈N *)． (Ⅰ)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项公式 an； (Ⅱ)设 bn＝an·2n(n∈N *)，求数列{bn}的前n 项和Tn. 【答案】 (Ⅰ)由 2 Sn＝an＋1(n∈N *)可以得到 4Sn＝(an＋1)2(n∈N *) n＝1 时，4a1＝(a1＋1)2⇒a21－2a1＋1＝0，即 a1＝1 n≥2 时，4an＝4Sn－...