简单三角恒等变换课件VIP免费

简单的三角恒等变换三角恒等变换1．正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明．2．理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用．基础梳理一、利用二倍角公式推导半角公式(1)因为α是α2的二倍角，所以在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以α2代替α，即cosα＝1－2sin2α2，所以sin2α2＝________.(2)在二倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以α2代替α，即cosα＝2cos2α2－1，所以cos2α2＝______.(1)1－cosα2(2)1＋cosα2(3)由(1)(2)中所得两式相除得tan2α2＝1－cosα1＋cosα.综上，sinα2＝________，cosα2＝________，tanα2＝________.上面的三个式子称为半角公式．同样有tanα2＝________＝________.(3)±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα1－cosαsinα＝sinα1＋cosα思考应用1．试应用半角公式讨论，下列各式中恒成立的是()，如不恒成立，请指出应补充的条件．A．tanα2＝1－cosαsinαB．cos2α2＝1＋cosα2C．tanα2＝±1－cosα1＋cosαD．tan2α＝2tanα1－tan2α解析：A.tanα2＝1－cosαsinα不恒成立．恒成立的条件是sinα≠0，C．tanα2＝±1－cosα1＋cosα不恒成立．恒成立的条件是cosα≠－1，D．tan2α＝2tanα1－tan2α不恒成立．恒成立的条件是tanα≠±1，B恒成立，故答案选B.答案：B二、和差化积与积化和差公式的推导由sin＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin＝sinαcosβ－cosαsinβ得sinαcosβ＝__________________，①cosαsinβ＝____________________，②12[]sin()α＋β＋sin()α－β12[]sin()α＋β－sin()α－β由cos＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos＝cosαcosβ＋sinαsinβ得cosαcosβ＝_________________，③sinαsinβ＝___________________，④上面的公式①②③④统称为积化和差公式．12[]cos()α＋β＋cos()α－β－12[]cos()α＋β－cos()α－β上面四个式子中，设α＋β＝θ，α－β＝，则有把α，β代入上面的式子得到：sinθ＋sin＝________________，⑤sinθ－sin＝________________，⑥cosθ＋cos＝_______________，⑦cosθ－cos＝_______________，⑧上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式．α＝θ＋φ2，β＝θ－φ22sinθ＋φ2cosθ－φ22cosθ＋φ2sinθ－φ22cosθ＋φ2cosθ－φ2－2sinθ＋φ2sinθ－φ2思考应用2．形如y＝asinx＋bcosx的函数的如何进行变换？解析：y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx， －1≤aa2＋b2≤1，－1≤ba2＋b2≤1，且aa2＋b22＋ba2＋b22＝1，∴不妨设cosθ＝aa2＋b2，sinθ＝ba2＋b2，则有y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2()cosθsinx＋sinθcosx＝a2＋b2sin(θ＋x)．自测自评1．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.35解析：原式＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－35.故选B.答案：B2．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．解析：f(x)＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，所以，所求最小值为：1－2.答案：1－23．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为()A．－72B．－12C.12D.72解析：原式＝cos2α－sin2α22()sinα－cosα＝－2(cosα＋sinα)＝－22，∴cosα＋sinα＝12.答案选C.答案：C4．已知cosx－π4＝210，x∈π2，3π4，则sinx＝________.解析：因为x∈π2，3π4，所以x－π4∈π4，π2，于是sinx－π4＝1－cos2x－π4＝7210sinx＝sinx－π4＋π4＝sinx－π4cosπ4＋cosx－π4sinπ4＝7210×22＋210×22＝45.答案：45倍角公式的变形与应用已知cosα＝－35，且180°<α<270°，求tanα2的值．分析：本题可直接利用公式tanα2＝±1－cosα1＋cosα来解，也可由cosα＝－35解出sinα，再根据公式tanα2＝1－cosαsinα或tanα2＝sinα1＋cosα求解．对第一种解法，要注意符号的选择．解析：解法一： 180°<α<270°，∴90°<α2<135°，即角α2是第二象限角，∴tanα2<0，故tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－1－－351＋－35＝－2.解法...