简单的三角恒等变换三角恒等变换1.正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明.2.理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用.基础梳理一、利用二倍角公式推导半角公式(1)因为α是α2的二倍角,所以在二倍角公式cos2α=1-2sin2α中,以α代替2α,以α2代替α,即cosα=1-2sin2α2,所以sin2α2=________.(2)在二倍角公式cos2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以α2代替α,即cosα=2cos2α2-1,所以cos2α2=______.(1)1-cosα2(2)1+cosα2(3)由(1)(2)中所得两式相除得tan2α2=1-cosα1+cosα.综上,sinα2=________,cosα2=________,tanα2=________.上面的三个式子称为半角公式.同样有tanα2=________=________.(3)±1-cosα2±1+cosα2±1-cosα1+cosα1-cosαsinα=sinα1+cosα思考应用1.试应用半角公式讨论,下列各式中恒成立的是(),如不恒成立,请指出应补充的条件.A.tanα2=1-cosαsinαB.cos2α2=1+cosα2C.tanα2=±1-cosα1+cosαD.tan2α=2tanα1-tan2α解析:A.tanα2=1-cosαsinα不恒成立.恒成立的条件是sinα≠0,C.tanα2=±1-cosα1+cosα不恒成立.恒成立的条件是cosα≠-1,D.tan2α=2tanα1-tan2α不恒成立.恒成立的条件是tanα≠±1,B恒成立,故答案选B.答案:B二、和差化积与积化和差公式的推导由sin=sinαcosβ+cosαsinβ,sin=sinαcosβ-cosαsinβ得sinαcosβ=__________________,①cosαsinβ=____________________,②12[]sin()α+β+sin()α-β12[]sin()α+β-sin()α-β由cos=cosαcosβ-sinαsinβ,cos=cosαcosβ+sinαsinβ得cosαcosβ=_________________,③sinαsinβ=___________________,④上面的公式①②③④统称为积化和差公式.12[]cos()α+β+cos()α-β-12[]cos()α+β-cos()α-β上面四个式子中,设α+β=θ,α-β=,则有把α,β代入上面的式子得到:sinθ+sin=________________,⑤sinθ-sin=________________,⑥cosθ+cos=_______________,⑦cosθ-cos=_______________,⑧上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式.α=θ+φ2,β=θ-φ22sinθ+φ2cosθ-φ22cosθ+φ2sinθ-φ22cosθ+φ2cosθ-φ2-2sinθ+φ2sinθ-φ2思考应用2.形如y=asinx+bcosx的函数的如何进行变换?解析:y=asinx+bcosx=a2+b2aa2+b2sinx+ba2+b2cosx, -1≤aa2+b2≤1,-1≤ba2+b2≤1,且aa2+b22+ba2+b22=1,∴不妨设cosθ=aa2+b2,sinθ=ba2+b2,则有y=asinx+bcosx=a2+b2()cosθsinx+sinθcosx=a2+b2sin(θ+x).自测自评1.已知sinα=55,则sin4α-cos4α的值为()A.-15B.-35C.15D.35解析:原式=sin2α-cos2α=2sin2α-1=-35.故选B.答案:B2.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.解析:f(x)=cos2x+sin2x+1=2sin2x+π4+1,所以,所求最小值为:1-2.答案:1-23.若cos2αsinα-π4=-22,则cosα+sinα的值为()A.-72B.-12C.12D.72解析:原式=cos2α-sin2α22()sinα-cosα=-2(cosα+sinα)=-22,∴cosα+sinα=12.答案选C.答案:C4.已知cosx-π4=210,x∈π2,3π4,则sinx=________.解析:因为x∈π2,3π4,所以x-π4∈π4,π2,于是sinx-π4=1-cos2x-π4=7210sinx=sinx-π4+π4=sinx-π4cosπ4+cosx-π4sinπ4=7210×22+210×22=45.答案:45倍角公式的变形与应用已知cosα=-35,且180°<α<270°,求tanα2的值.分析:本题可直接利用公式tanα2=±1-cosα1+cosα来解,也可由cosα=-35解出sinα,再根据公式tanα2=1-cosαsinα或tanα2=sinα1+cosα求解.对第一种解法,要注意符号的选择.解析:解法一: 180°<α<270°,∴90°<α2<135°,即角α2是第二象限角,∴tanα2<0,故tanα2=-1-cosα1+cosα=-1--351+-35=-2.解法...