曲线积分及其与路径无关问题

曲线积分与路径无关问题 1. 第一型曲线积分 (1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(yx求弧AB 的质量m 。 Ldsyxfm),(, (2)若BALABL21,，则1),(Ldsyxf= 2),(Ldsyxf，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。 (3)对弧长的曲线积分的计算 设),(yxf在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为)()(tytx ，)( t,其中)(t、)(t在,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'tt，则曲线积分Ldsyxf),(存在，且 Ldsyxf),(=dtttttf)()()(),(2'2' )(  特别,当1),(yxf时, Ldsyxf),(表示曲线弧L 的弧长。 当曲线弧L 的方程为 )(xgy  )(bxa，)(xg在ba,上有连续的导数，则Ldsyxf),(=dxxgxgxfda)(1)(,2'； 把 线弧L 的方程为)(xfy 化 作 参数方程)(xgyxx，)(bxa， Ldsyxf),(=dyyhyyhfdc)(1),(2' )(dyc 2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场jyxQiyxPyxF),(),(),(，其中),(),,(yxQyxP为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点 A沿光滑曲线L 运动到点 B ，求力场的力所作的功W 。 dyyxQdxyxPWL),(),( ， (2)设L 为有向曲线弧，L为与L 方向相反的有向曲线弧，则 dyyxQdxyxPL),(),(dyyxQdxyxPL),(),(  即第二型曲线积分方向无关 (3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为)()(tytx ，当参数t 单调地由变到 时,曲线的点由起点A运动到终点B ,)(t、)(t在以 及  为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'tt，函数),(yxP、),(yxQ在 L 上连续，则曲线积分dyyxQdxyxPL),(),(存在，且 LdyyxQdxyxP),(),(=dttttQtttP)()(),()()(),('' 这里的 是曲线L 的起点A所对应的参数值， 是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求 。 若曲线L 的方程为 ),(xfy ax 对应于L 的起点，bx 应于L 的终点，则 LdyyxQdxyxP),(),(=dxxfxfxQxfxPba)()(,)(,'； 若曲线L 的方程为 ),(ygx cy 对应于 L 的起点，dy 应于 L 的终点，则 LdyyxQdxyxP),(),(=dyyygQygyygPdc),()(),('。 同样，以上并不要求b...