曲面积分精解

第一节 第一类曲面积分 内容要点 一、 第一类曲面积分的概念与性质 定义 1 设曲面是光滑的, 函数),,(zyxf在上有界, 把任意分成 n 小块iS(iS同时也表示第i 小块曲面的面积),在iS上任取一点),,,(iii作乘积 ),,2,1(),,(niSfiiii 并作和,),,(1niiiiiSf 如果当各小块曲面的直径的最大值0时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(zyxf在 上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,( (4.2) 其中),,(zyxf称为被积函数，称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法 .),(),(1)],(,,[),,(22xyDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf (4.3) 例题选讲 例 1 计算曲面积分, zdS 其中 是球面2222azyx被平面)0(ahhz截出的顶部. 解 的方程为.222yxaz 在 xOy面上的投影区域:xyD .),(2222hayxyx 又,122222yxaazzyx利用极坐标 故有xyDraadxdyzdS22 220202222rardrdaraardrdhaDxy22022)(212haraIna  .2haaIn 例 2（E 01）计算,)(dSzyx 其中 为平面 5 zy被柱面2522 yx所截得的部分. 解 积分曲面,5:yz其投影域},25),({22yxyxDxy ,2)1(011222dxdydxdydxdyzzdSyx 故 xyxyDDdxdyxdxdyyyxdSzyx)5(2)5(2)( .2125)cos5(25020rdrrd 例 3（E 02）计算,xyzdS 其中 是由平面0,0,0zyx及1zyx所围四面体的整个边界曲面. 解 如图(见系统演示)， .2341xyzdSxyzdS   注意到在321,,上，被积函数,0),,( xyzzyxf故上式右端前三项积分等于零. 在4 上，,1yxz所以 ,3)1()1(112222yxzz 从而4xyzdSxyzdSxyDdxdyyxxy,)1(3其中xyD是4 在xOy面上的投影区域. xyzdSxdyyxyxdx 1010)1(3 dxyyxxx10103232)1(3 dxxx1036)1(3 .1203)33(6343102dxxxxx 例 4 计算,dSxyz 其中 为抛物面).10(22zyxz 解 根据抛物面22yxz对称性,及函数||xyz 关...