最值问题在经济管理中的应用(经济数学建模课件(西安交通大学,戴雪峰)

最值问题在经济管理中的应用 本段举例说明最大、最小值问题在经济管理中的应用. 1. 最小成本问题 实际问题中成本一般是产量q的函数: C=C(q),求最小成本问题即是求C(q)的最小值问题,但在实用中,经常是用平均成本qqC)(达到最小来控制产量,所以常常是求平均成本的最小值. 例 2 设某企业每季度生产某种产品 q 个单位时,总成本函数为 )0,0,0()(23cbacqbqaqqC (1) 求使平均成本最小的产量; (2) 求最小平均成本及相应的边际成本. 解 (1)平均成本函数为 cbqaqqqCqC2)()( )0( q 令 02)(baqqC, 得唯一驻点abq2 又 02)(aqC, 故 abq2就是)(xC的极小值因而是最小值. 所以,每季度产量为 ab2个单位时,平均成本最小. (2) 当abq2时,最小平均成本为 abaccabbabaabC44)2()2()2(22 而边际成本函数为 cbqaqqC23)(2 所以当abq2时,相应的边际成本为 abaccabbabaabC44)2(2)2(3)2(22 由此可见,最小平均成本等于其相应的边际成本. 一般而言,如果平均成本qqCqC)()(可导,则令 0)]()([(1)()()(2qCqCqqqCxCqqC 当)(qC在 q 处取得极小值时,有)()(qCqC,即对于成本函数,最小平均成本等于相应的边际成本,这也证实了我们在第二章研究边际成本时的结论. 例 3 铁路线上AB 段的距离为100km,工厂C 距A 处为20km,AC垂直于AB(图3-16),为了运输需要在线AB上选定一点D 向工厂修筑一条公路.已知铁路上每km 货物的运费与公路上每km 货物的运费之比为3∶5,为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省,问D 点应选在何处? 解 设AD=x(km), 则DB=100-x(km), 22240020xxCD 由于铁路上每km 货物的运费与公路上每km 货物的运费之比为3∶5,因此不妨设铁路上每公里的运费为3k,公路上每公里的运费为5k(k 为某个常数,因它与本题的解无关,所以不必定出).设从B 点到C 点需要的总运费为y,那么y=5k·CD+3k·DB，即 )100(340052xkxky （0≤x≤100） 现在，问题就归结为x 在[0,100]内取何值时 y 的值最小. )34005(2xxky 令0y,得唯一驻点x=15 由于,5211500,380,400100150kykykyxxx其中 x=15 时,y 最小,因此,当AD=15km 时,总运费最省. 2. 最大利润问题 在产量等于销量的情况下,利润等于总收入与总成本之差,即 )()()(xCxRxL 若企业以最大利润为目标而控制产量,问题就转化为选择...