几何变换与几何证明

下载后可任意编辑几何变换与几何证明 平移变换几何证明与计算中的应用 平移变换在几何中的应用平移变换是几何中的一种重要变换，运用平移变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，便于问题的讨论和解决。这是平移变换中的常用方法，下面仅举几例，以作说明。 一、平移变换在几何证明中的应用例 1．如图，△ABC 中，BD=CE，求证： 【解析】本题涉及到证明的几条线段虽然都交于一点，但对于证明这样一个几何不等式不是很方便。再有 BD=CE，运用平移变换，将△AEC 平移到△A’BD 的位置，问题迎刃而解。 【答案】证明：如图 2,分别过点 D、B 作 CA、EA 的平行线，GFDE 两线相交于 F 点，DF 于 AB 交于 G 点。 所以，在△AEC 和△FBD 中，又 CE=BD，可证第 1 页 共 6 页下载后可任意编辑△AEC≌△FBD，所以 AC=FD，AE=FB，在△AGD 中，AG+DG>AD，在△BFG 中，BG+FG>FB，所以 AG+DG-AD>0,BG+FG-FB>0,所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0,即 AB+FD>AD+FB，所以 AB+AC>AD+AE.【思考】本题还有没有平移其他图形的方法？例 2．如图，梯形 ABCD 中，∠B+∠C=90°，点 E、F 分别为上下底边的中点，求证： 【解析】题目需要证明的几条线段是分散的，通过平移变换可以将 AB、EF、DC 集中到一起。此时，其他条件也很能好好地得到应用。 【答案】证明：分别过点 E、F 作 EG//AB,EH//CD 交 BC 于点 G、H 所以四边形 ABGE,DEHC 是平行四边形.AE=BG,DE=CH,因为 FB=FC,所以 FG=FH=所以∠EGC=∠B，∠EHB=∠C,又∠B+∠C=90°，所以∠EGC+∠EHB=90°，∠GEH=90°所以△GEH是直角三角形.所以，EF=二、平移变换在几何作图中的应用例第 2 页 共 6 页下载后可任意编辑3.如图，河流的河岸 AB 与 CD 平行，点 A、B 表示两个村庄，现要在河上架桥，满足两个条件：（1）桥与河岸垂直； （2）A、B 两个村庄之间的线路最短，请问桥应架在何处？【解析】不管桥设计在何处，A、B 两个村庄之间的路程中总有一段是河岸间的距离，所以运用平移变换，将河“平移”,使村庄 A 或 B 恰好在河岸上。 【答案】过点 A 作 AA’垂直河岸，且使 AA’长度等于河的宽度，连结交河岸于点 C，过点 C 作 CD 垂直于河岸交河岸于点D，连结 AD，则 CD 为桥的位置。 【思考】假如 A、B 两个村庄之间有两条互相平行的小河，其他条件不变，桥的位置又该如何确定？图 3 例 4.如图3，△ABC 的三条中线分别为 AD、BE...